A matemática é uma das disciplinas mais antigas entre as civilizações, o conhecimento dos números e suas operações permite o desenvolvimento de muitas outras ciências, inclusive afetando as ciências humanas, com estatísticas, por exemplo.
Diante disso, os temas matemáticos fundamentais são cobrados com frequência nos vestibulares, entre eles operação numérica básica, função trigonométrica, ângulo, geometria, equação, sequência numérica e equação polinomial.
Por conta de um cenário tão abrangente, é necessário estudar com calma, e de forma direcionada, cada um dos assuntos mais frequentes nos vestibulares e que tem importância na formação cidadã e acadêmica. E, para te ajudar com isso, o Estratégia Vestibulares preparou este artigo em que são apresentados e aprofundados os principais conceitos em equação polinomial.
Ao longo do texto você conhecerá a definição de equação polinomial, como elas podem ser classificadas, qual a diferença entre o conceito de equação polinomial e polinômios, além de ter acesso aos principais recursos matemáticos para resolver esse tipo de cálculo. Ao final, ainda, veja uma resolução completa de uma questão da Universidade Estadual do Amazonas sobre o tema.
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Definição de equações polinomiais
O conceito de equação polinomial é que a expressão matemática polinomial esteja igualada a zero. Em geral, define-se que o símbolo do polinômio é P(x), em que x é a incógnita do cálculo e a equação polinomial será, portanto, P(x) = 0.
P(x) = 0
P (x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x1 + a0
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x1 + a0 = 0
Na estrutura geral apresentada acima, considera-se que uma equação é polinomial quando os valores de x são reais (x ∊ |R) e n precisa ser um número inteiro, maior do que 0 (x ∊ Z | x>0). As letras “a” representam um coeficiente que multiplica a incógnita na equação.
- 4x3 + 2x2 – 3x – 9 = 0
- 2x2 – 5 = 0
- x + 14 = 0
- 26x5 + 13x = 0
No estudo dos polinômios e equações polinomiais, é atribuído um grau a P(x). O grau é definido a partir do maior expoente presente na incógnita, ou seja, grau do polinômio = n, nos exemplos acima, então:
- 4x3 + 2x2 – 3x – 9 = 0 ⟶ maior expoente está em x3, n= 3, grau 3
- 2x2 – 5 = 0 ⟶ maior expoente está em x2, n= 2, grau 2
- x + 14 = 0 ⟶ maior expoente está em x, então x = x1, n= 1, grau 1
- 26x5 + 13x = 0 ⟶ maior expoente está em x5, n= 5, grau 5
Um ponto importante ao reconhecer uma equação polinomial é manter em mente sua fórmula estrutural geral. Uma vez que o grau é n, é necessário que existam incógnitas elevadas a n-1, n-2, n-3, até que a subtração resulte em n-n=0. Veja um exemplo:
4x5 – x4 – 3x3 + 5x2 – 15x – 6x0 = 0
Observe que o grau desta equação polinomial apresentada é 5, então existem incógnitas elevadas nas potências 4, 3, 2 e 1.
Essa consideração é especialmente útil quando são desenvolvidos cálculos polinomiais em que o coeficiente que acompanha uma das potências é 0, como está demonstrado abaixo:
150x4 + 3x2 – 20= 0
A forma como a equação está distribuída pode criar a sensação de que o polinômio abrange apenas a incógnita elevada à quarta e à segunda potência. Mas a forma completa dessa equação polinomial será:
150x4 + 0x3 + 3x2 + 0x – 20x0 = 0
Desenvolver o raciocínio a partir dessa lógica facilita especialmente para as operações com polinômios, que precisam ser resolvidas para encontrar o valor da incógnita, em alguns exercícios de vestibulares.
Tipos de equação polinomial
Lineares
As equações polinomiais de primeiro grau, também chamadas de lineares, são resolvidas à semelhança das equações de primeiro grau e resultam em apenas uma raiz verdadeira. Basta isolar a incógnita no cálculo, realizando manipulações com as operações inversas, como demonstrado abaixo:
P(x) = x – 15 + x/2
P(x) = 0
x – 15 + x/2 = 0
x + x/2 = 15
3/2.x = 15
x = 10
Quadráticas
No caso das expressões polinomiais quadráticas, segue-se o mesmo padrão utilizado nas funções do segundo grau. Para encontrar as duas raízes que solucionam o cálculo, pode-se lançar mão da fórmula de Bháskara ou do recurso de soma e produto de raízes.
Considera-se que a fórmula geral desses polinômios é tal que: P(x) = ax2 + bx + c. Para a aplicação dos recursos de resolução, utilizam-se os coeficientes conforme são apresentados na fórmula geral.
Imagem: Reprodução/Wikimedia
Imagem: Reprodução/Wikimedia
A imagem abaixo demonstra a resolução de um polinômio do segundo grau. Considere que x1 é uma das raízes e x2 é a outra. Quando qualquer um deles for substituído por x na equação polinomial, a igualdade será verdadeira.
Outros graus de polinômio
Quanto maior o grau do polinômio mais complexa sua resolução será, o que demanda maior habilidades matemáticas e conhecimento dos recursos adequados para completar o cálculo. Uma das formas de desenvolver essas contas é por meio da fatoração de um polinômio.
Em uma situação em que temos a expressão numérica que forma o polinômio e pelo uma de suas raízes é possível fazer a fatoração desse cálculo. Para isso, toma-se o coeficiente que acompanha a incógnita de maior grau e multiplica-se pela subtração da raiz conhecida por cada uma das raízes. Veja a estrutura desse raciocínio abaixo:
P(x) = an (x – x1) (x – x2) (x – x3) … (x – xn-1) (x – xn)
x é a raiz conhecida
an é o coeficiente que acompanha a incógnita de maior potência
x1, x2, x3…xn-1, xn são as outras raízes da equação
Com base em 𝑥³ + 9𝑥² + 11𝑥 −21 = 0, sabendo que as raízes são -7, 1 e -3, qual é a forma fatorada?
P(x) = 𝑥³ + 9𝑥² + 11𝑥 −21 = 0
A incógnita de maior grau é x3, que tem coeficiente 1, então an = 1. Existem 3 raízes nesse polinômio, que são x1, x2 e x3, que tem os valores citados acima. Pode-se escolher, aleatoriamente, qual valor é atribuído a cada raíz, como em x1 = -7, x2 = -3 e x3 = 1. Acompanhe as substituições:
P(x) = an (x – x1) (x – x2) (x – x3)
P(x) = 1 [x –( -7)] [x – (-3)] (x – 1)
P(x) = 1 (x + 7) (x + 3) (x – 1)
P(x) = (x + 7) (x + 3) (x – 1)
Raízes de Equações Polinomiais
Teorema Fundamental da Álgebra
As equações polinomiais são resolvidas conforme sua classificação, a depender do grau presente no cálculo. Inclusive, o número de raízes complexas que tornam aquela equação verdadeira é igual ao grau do polinômio. Ou seja, se o grau do polinômio P(x) é 5, ele possui 5 raízes que podem ser substituídas no cálculo e tornam a equação verdadeira.
Veja que essa definição depende do conhecimento sobre números complexos, que são números que abrangem resultados para raízes de valores negativos.
Questões sobre equação polinomial
UEA 2024
Considere o polinômio p(x) = 3x³– kx² – 5x + 1, em que k é um número real. Se p(–1) = 1, o valor de p(k) é igual a
A) 7.
B) 6.
C) 8.
D) 5.
E) 4.
Resposta:
p(x) = 3x³– kx² – 5x + 1
Se p(–1) = 1
1 = 3(-1³)– k(-1²) – 5(-1) + 1
1 = -3 – k – (-5) + 1
1 = -3 – k + 5 + 1
1 = -3 – k + 6
1 = – k +3
1 – 3 = – k
– k = -2
k = 2
Então p(k) = p(2)
p(k) = 3k³– kk² – 5k + 1
p(k) = 3.2³– 2.2² – 5.2 + 1
p(k) = 3.8– 2.4 – 10 + 1
p(k) = 24 – 8 – 10 + 1
p(k) = 24 – 18 + 1
p(k) = 6 + 1
p(k) = p(2) = 7
Alternativa correta: A.
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