A função quadrática está entre as principais funções matemáticas no estudo pré-vestibular. É importante tanto no sentido de resolver equações, como para entender problemas e também pode ser explorada em outras disciplinas exatas, como na física.
Conheça agora sobre a função quadrática, qual é sua estrutura geral, qual gráfico ela constrói no plano cartesiano e quais as características desse traçado. Veja também fórmulas matemáticas que estão envolvidas nesse tema, como a fórmula de Bháskara, de soma e produto, cálculos para encontrar o x e o y do vértice do gráfico, entre outras informações importantes.
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O que é a função quadrática?
Também chamada de função do segundo grau, a função quadrática é um cálculo matemático em função de uma incógnita, em forma de polinômio de grau dois. Ou seja, a incógnita está distribuída de forma que aparece elevada ao quadrado e também pode aparecer elevada ao grau um.
A estrutura geral de uma função quadrática é determinada por:
f(x) = ax2 + bx + c
a, b e c são coeficientes do cálculo
a ≠ 0
Perceba que a precisa ser diferente de zero, porque, caso a = 0, o elemento “x2” é eliminado da expressão matemática, o que impede a classificação como função do segundo grau.
No estudo algébrico, está determinado que o grau da equação é igual ao número de raízes (valores) que podem ser encontradas para essa expressão. Lembre-se que uma raiz é o valor que, ao ser substituído na equação, faz com que o resultado da conta seja 0.
Conforme essa informação, basta lembrar que a função quadrática possui grau 2 para saber que, em geral, as funções de segundo grau possuem duas raízes, que são chamadas por x1 e x2, de maneira que f(x1) = 0 e f(x2)=0.
Como encontrar a raiz de uma função quadrática?
Existem dois principais caminhos para encontrar as raízes de uma função quadrática. A primeira, muito conhecida, é a fórmula de Bháskara. Outro modo seria utilizar a fórmula de soma e produto. Veja, a seguir, como elas funcionam, com exemplos.
Fórmula de Bháskara
A fórmula de Bháskara é um cálculo que reúne os coeficientes de uma equação do segundo grau, para determinar quais valores de x determinar um resultado igual a 0.
Seja a função f(x) = x2+ 3x – 10
a = 1
b = 3
c = -10
x1 = {-b + [√b2– (4.a.c)]}/ 2.a
x1 = {-3+ [√32 – (4.1.-10)]} / 2
x1 = {-3+ [√9 – (-40)]} / 2
x1 = {-3+ [√9 + 40]} / 2
x1 = {-3+ [√49]} / 2
x1 = {-3 + 7} / 2
x1 = 4 / 2
x1 = 2
x2 = {-b – [√b2– (4.a.c)]}/ 2.a
x2 = {-3 – [√32 – (4.1.-10)]} / 2
x2 = {-3 – [√9 – (-40)]} / 2}
x2 = {-3 – [√9 + 40]} / 2
x2 = {-3 – [√49]} / 2
x2 = {-3 – 7} / 2
x2 = –10 / 2
x2 = -5
Soma e produto
A fórmula para soma e produto é mais simples, mas é necessário desenvolver um sistema de equações para chegar às raízes.
x1+ x2 = -b/a
x1.x2 = c/a
Com a mesma função do exemplo acima, vamos explorar esse segundo método.
f(x) = x2+ 3x – 10
a = 1
b = 3
c = -10
x1+ x2 = -b/a
x1+ x2 = -3/1
(equação I) x1+ x2 = -3
x1.x2 = c/a
x1.x2 = -10/1
(equação II) x1.x2 = -10
Uma das melhores maneiras de desenvolver o método de soma e produto é por tentativa e erro. Primeiro, observe a soma apresentada e pense em valores que podem ser multiplicados para chegar a esse produto.
1 . 10 = 10
2 . 5 = 10
2,5 . 4 = 10
Depois, leve em consideração o sinal do resultado da multiplicação de raízes, bem como a soma apresentada na primeira fórmula.
Dentre as opções apresentadas, os fatores 2 e 5 resultam em 10. Ao mesmo tempo, a diferença entre esses valores é igual a 3. Sim, a primeira fórmula parte da soma, mas qual configuração de sinais pode fazer com que 2 e 5 resultem em -3? Basicamente, – 5 + 2 = -3.
Ao mesmo tempo, -5.2 = -10, respeitando o valor e o sinal da multiplicação de raízes. Então, -5 e 2 são valores que correspondem às necessidades apresentadas na fórmula e são as raízes da função apresentada.
Gráfico de função quadrática
O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola. A diferença está em outros fatores, por exemplo, se a boca está virada para cima ou para baixo, se o vértice representa um ponto mínimo ou máximo, entre outras características.
Quando o coeficiente a>0, a parábola está voltada para cima.
Por outro lado, quando o coeficiente a<0, sua concavidade é para baixo.
Outro fator importante é o discriminante da fórmula de Bháskara. Representa todo o cálculo que fica dentro da raiz quadrada (b2 – 4.a.c). Ele também pode ser chamado de delta (Δ = b2 – 4.a.c) e é considerado para entender como são as raízes dessa função.
A imagem resume as três informações relevantes a respeito da relação entre parábola e discriminante:
- Toda vez que Δ>0, a parábola possui duas raízes reais. Ou seja, cruza o eixo x duas vezes, como está demonstrado na figura em azul;
- Se o Δ = 0, apenas um valor é será a raiz dupla da função quadrática. Com isso, somente um ponto da parábola tocará o eixo x, exemplo mostrado em vermelho; e
- Em amarelo, por fim, trata-se de quando Δ<0. Como não existe uma raiz real para valores negativos, a fórmula de Bháskara ficaria incompleta e, por isso, nenhum número real pode fazer essa função resultar em zero. Por isso, a parábola não toca o eixo x.
Outro ponto importante da parábola é o vértice, ponto que divide os “dois bracinhos” do desenho. Para as parábolas que estão côncavas para baixo, é o ponto máximo. Para os desenhos voltados para cima, é o local de valor mínimo. Para encontrar esses valores, utilizam-se as fórmulas:
xv = -b/2a
yv = -Δ/4a
Veja uma questão do Enem 2013 que utiliza esse conceito:
A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = (3/2).x2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
Segundo o enunciado, o ponto V é o vértice da parábola e está localizado em cima do eixo das abscissas. Isso significa que o valor de y é 0, ou seja, yV = 0. Agora, vamos determinar o xV:
xv = -b/2a
Na função f(x) = (3/2).x2 – 6x + C, a = 3/2 = 1,5 e b = -6, então:
xv = -b/2a
xv = -(-6)/2.1,5
xv = 6/3
xv = 2
Com as informações descritas até aqui, então, o vértice da função é (2,0). Agora, vamos substituir o valor de x e y na equação, para encontrar a incógnita C:
f(x) = (3/2).x2 – 6x + C
f(2) = (3/2).22 – 6.2 + C
f(2) = 0
0 = (3/2).22 – 6.2 + C
0 = (1,5).4 – 6.2 + C
0 = 6 – 6.2 + C
0 = 6 – 12 + C
0 = – 6 + C
C = 6, conforme a alternativa E.
+ Veja também: Equação do segundo grau: como resolver, fórmulas, exercícios de vestibulares
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