Geometria analítica: fórmulas, gráficos e equações

Geometria analítica: fórmulas, gráficos e equações

A geometria analítica é responsável por analisar figuras por meio de expressões algébricas e projeção cartesiana. Muito útil para encontrar medidas facilmente, fazer cálculo vetorial e de área, essa ferramenta é cobrada com frequência nos vestibulares. 

Para conhecer melhor esse assunto, leia este artigo. Nele serão abordadas as fórmulas e interpretações utilizadas para reta e ponto no gráfico, além de desenvolver o raciocínio matemático com um exercício de prova. Acompanhe agora!

O que é a geometria analítica?

O criador da geometria analítica, nada mais é do que René Descartes, responsável pelo desenvolvimento do plano cartesiano, que tem esse nome como homenagem ao estudioso. Além disso, ele foi um filósofo moderno, conhecido pela criação do método indutivo e pela famosa frase “penso, logo existo”.

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Plano cartesiano

O sistema desenvolvido por Descartes é composto por dois eixos:

  • x, que fica na horizontal e também pode ser chamado de abscissa; e 
  • y, ou ordenada, que se estende por toda a vertical, com 90º de angulação em relação ao eixo x. 
plano cartesiano
Imagem: Reprodução/Wikimedia

Como você pode observar na imagem acima, a posição de um ponto é dada por sua localização em relação ao eixo x e y. Para isso, a graduação desses eixos em números, geralmente inteiros, se faz necessária. 

Note que os números direcionados para a direita no eixo das abscissas são positivos, assim como os que partem para cima nas ordenadas. Já os valores negativos estão distribuídos na porção esquerda e/ou inferior do plano cartesiano. 

Para facilitar a localização de pontos e deixar o estudo gráfico mais preciso, foi definido que as retas coordenadas do eixo x e y dividem a malha em quatro diferentes quadrantes. Eles são contados no sentido anti-horário, a começar do superior direito, como mostra a figura:

quadrantes na geometria analítica
  • O primeiro quadrante possui pontos com coordenadas positivas: I (+x, +y);
  • No quadrante seguinte, os pontos possuem abscissas negativas e ordenadas positivas: II (-x, +y);
  • Com a mesma lógica, o terceiro quadrante abriga os pontos com coordenadas inteiramente negativas: III (-x,-y);
  • Por fim, o quadrante de número IV terá abscissas positivas com ordenadas negativas: IV(+x,-y)

Como citado anteriormente, a geometria analítica agrupa as ideias de plano coordenado, fórmulas, equações algébricas e figuras geométricas. Para isso, entende-se que as figuras são formadas por uma infinidade de pontos. 

Por exemplo, um quadrilátero possui 4 segmentos de retas, formadas por muitos pontos e que, consequentemente, podem admitir uma posição no plano cartesiano.

Com essas informações, os estudiosos foram capazes de analisar as relações algébricas entre os pontos de coordenadas genéricas (x,y) e perceber um padrão para a construção de cada figura: pontos, triângulos, quadriláteros, circunferência e círculo. Assim surgiram algumas das fórmulas que serão abordadas em sequência.

Pontos na geometria analítica

Distância entre dois pontos

Um conceito importante da geometria analítica é analisar a distância entre dois pontos genéricos A e B. Para isso, é necessário saber as coordenadas e continuar com a utilização de fórmulas.

Os estudiosos entendem que, para A e B, quando suas projeções nos eixos x e y (azul) se encontram (vermelho), temos a construção de um triângulo retângulo. Com isso, pode-se utilizar a fórmula de pitágoras para encontrar a hipotenusa, que representa a distância entre A e B. 

distância entre pontos - geometria analítica

Observa-se então que os catetos do triângulo formado, no plano cartesiano são:

  • Cateto a = yB – yA
  • Cateto b = xB – xA
  • Hipotenusa = distância entre A e B = dAB

Conforme o teorema proposto por Pitágoras na geometria plana:

a2 + b2 = hipotenusa2, ou seja

Para facilitar os cálculos, por padrão foi definido que:

fórmula distância entre dois pontos

Ponto médio entre dois pontos (M)

Além de encontrar a distância entre dois pontos, é possível saber qual a coordenada do ponto que se encontra exatamente no “meio do caminho” entre um e outro. Ou seja, ele divide dAB em duas partes iguais.

geometria analítica - ponto médio

Nesse caso, encontra-se a média aritmética simples entre as abscissas e o mesmo cálculo com as ordenadas. Cada um desses valores representará as coordenadas M(xM, yM) do ponto médio.

xM = (xA + xB)/2

 yM = (yA + yB)/2

Retas no plano cartesiano

As retas, no plano cartesiano, assumem uma equação específica que as diferencia entre si. Para isso, possuem um ângulo sua inclinação e o eixo x — ele pode ser encontrado a partir do coeficiente angular, como veremos a seguir.

Coeficiente angular da reta (m)

coeficiente angular - geometria analítica

Por definição, o coeficiente angular (m) de uma reta no plano cartesiano é dado pela tangente do ângulo ∝ de inclinação em relação ao eixo X.

m = tg ∝

Utilizando informações da geometria euclidiana, podemos traçar novamente um triângulo retângulo entre a reta e a abscissa principal. Considera-se que os pontos A e B são pontos conhecidos quaisquer dessa reta r.

tangente - geometria analítica

Na geometria, sabe-se que a tangente de um ângulo é dada por:

tg ∝ = cateto oposto/cateto adjacente

Com as manipulações corretas, chegamos a:

tg ∝ = yB – yA/xB – xA

m = ( yB – yA ) / ( xB – xA )

Por padrão, quando m>0, a reta é ascendente no plano cartesiano. Se, m<0, admite-se que a reta r é descendente.

Equações da reta

Agora que já conhecemos a determinação do coeficiente angular em uma reta, é necessário entender como esse conjunto de pontos pode ser representado algebricamente.

Na equação geral da reta, por exemplo, temos que:

ax + by + c = 0

De forma que a,b e c representam coeficientes reais e constantes.

Outra forma de descrever uma reta algebricamente é por meio da equação reduzida:

y = mx + n

Nesse caso, m é o coeficiente angular da reta e n é o valor da ordenada quando a reta cruza o eixo y, da seguinte forma:

equação reduzida da reta - geometria analítica

Retas paralelas

Se duas retas possuem a mesmo m, estão situadas ao mesmo ângulo do eixo x e, se não possuírem equações exatamente iguais, serão paralelas.

retas paralelas - geometria analítica
Imagem: Reprodução/Wikimedia

Veja, no esquema anterior, que o m=3 é comum para as duas retas. Entretanto, o valor de y as diferencia. Assim, podem ser consideradas retas paralelas.

Retas concorrentes

Quando duas retas possuem coeficientes angulares diferentes (mr ≠ ms), elas se encontram em algum ponto do plano cartesiano.

retas concorrentes

Exercício de geometria analítica

(PUC) Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento AB é:

a) (3, 4)
b) (4, 6)
c) (-4, -6)
d) (1, 7)
e) (2, 3)

Com a fórmula para as coordenadas do ponto médio:

xM = (xA + xB)/2

 yM = (yA + yB)/2

Temos que:

xM = (1 + 5)/2
xM = 6/2
xM = 3

 yM = (1 + 7)/2
yM = 8/2
yM = 4

Assim, M (3,4), conforme a alternativa A.

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