Geometria Plana: a soma dos ângulos de um polígono

Um dos temas principais da Matemática é o estudo das formas e espaços, a Geometria Plana é responsável por estudar figuras no plano, pontos, linhas e ângulos, analisa áreas e perímetros sempre trabalhando no espaço bidimensional. Veja a seguir mais sobre questões que envolvem os ângulos de um polígono:

Conceitos Fundamentais

Para conseguir resolver problemas que envolvam este tema, primeiro é necessário saber a definição de polígono. O polígono – do grego ‘vários lados’ – é uma figura geométrica plana, fechada e formada por segmentos de retas que apenas se cruzam nas extremidades e não podem ter lados arredondados.

Um polígono é constituído por:

• Vértices – ponto onde dois lados se encontram;
• Lados – segmentos de reta que formam o contorno da figura; e
• Ângulos – se dividem entre ângulos internos e externos e representam a abertura entre dois lados.

E ele pode ser classificado quanto ao número de lados recebendo diferentes nomes para cada formato, ou quanto a sua regularidade. Onde ele é tido como regular quando todos os lados apresentam o mesmo tamanho, todos os ângulos internos forem iguais e quando podem ser inscritos em um círculo, caso não apresente essas característica ele é irregular.

Os polígonos ainda podem ser classificados como convexos, quando todos os ângulos internos são menores que 180°, ou seja, se traçar retas entre os lados da figura a reta nunca passará por fora do polígono. Enquanto que são considerados côncavos quando pelo menos um ângulo interno for maior que 180°, pelo menos uma reta entre dois lados pode passar por fora da figura, tem-se como exemplo o heptágono e o octógono da tabela anterior.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos. É possível determinar a soma dos ângulos internos de um polígono somando eles ou tendo o número de lados.

Para polígonos convexos de n lados, podemos escolher um vértice A, a partir desse lado vamos traçar diagonais para todos os outros vértices não adjacentes (que são vizinhos diretos). A figura terá n-3 diagonais saindo do vértice A, já que não pode se ligar a si mesmo, nem aos lados adjacentes. Deste modo, o polígono será formado por n-2 triângulos.

Como um triângulo tem soma total dos ângulos internos igual a 180°, e o polígono é formado por n-2 triângulos, temos que a soma total do ângulos internos de um polígono convexo é:

S = (n-2)*180°

Tal proposição funciona por conta das diagonais traçadas formar triângulos que não se sobrepõem e por conta da soma dos ângulos dos triângulos cobrir a soma dos ângulos internos dos polígonos.

Por exemplo:

• Triângulo (n=3): zero diagonais (n-3), dividido em 0 triângulos. Soma de seus ângulos internos é S=180°;
• Quadrilátero (n=4): uma diagonal (n-3), dividido em 2 triângulos (n-2). Soma de seus ângulos internos é S = (n-2)*180°=360°; e
• Pentágono (n=5): duas diagonais (n-3), dividido em 3 triângulos (n-2). Soma de seus ângulos internos é S = (n-2)*180°=540°.

Soma dos ângulos externos de um polígono convexo

Para cada vértice de um polígono, existe um ângulo interno e um externo. O ângulo externo é o ângulo suplementar ao ângulo interno, ou seja, o ângulo externo é quanto falta para o ângulo interno atingir 180°. Ao estender um dos lados da figura, o ângulo formado entre a extensão e o próximo lado é o ângulo externo. 

Um ângulo é dado como suplementar, significa que aquele ângulo junto com outro ângulo, soma 180°. Ou seja, tendo um dos ângulos, seja interno ou externo, é possível encontrar o outro usando a ideia de ângulo suplementar.

Uma propriedade muito importante, é que em qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos (um por vértice) é sempre 360°, independentemente do número de lados. 

De maneira intuitiva, ao percorrer o perímetro do polígono, completando uma volta de 360°, os ângulos externos representam as mudanças de direção em cada vértice. Como você retorna ao ponto inicial, a soma total dessas mudanças deve ser uma volta completa (360°).

Polígonos Regulares

Definimos um polígono regular como uma figura geométrica plana que possui todos os lados congruentes (com mesmo comprimento) e todos os ângulos internos congruentes (de mesma medida). Em outras palavras, ele é equilátero e equiângulo.

Além disso, os polígonos regulares são altamente simétricos. Eles possuem simetria de rotação e reflexão.

Como são figuras com ângulos congruentes, usamos a seguinte fórmula para calcular o valor de um ângulo interno:

Observe que é a fórmula da soma dos ângulos internos dividida pelo número de lados da figura.

E cada ângulo externo pode ser calculado por:

E como Ai e Ae são ângulos suplementares, a soma deles sempre deve dar em:

Número de diagonais de um polígono convexo

Em Geometria Plana, uma diagonal é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono. A diagonal cruza o interior da figura e só existe em polígonos se quatro ou mais lados.

De cada vértice saem segmentos para n-1 vértices, incluindo diagonais e lados, como temos n vértices seriam no total n*(n-1). Como cada segmento é contado duas vezes, chega-se na expressão:

Agora é subtraído os n lados do polígono e tem-se

Questões sobre soma de ângulos num polígono

Universidade de São Paulo  (USP) 1998

Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O número de lados do polígono é

A) 6
B) 7
C) 13
D) 16
E) 17

Universidade Estadual do Paraná (Unespar) 2019

Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer polígono de n lados é calculada pela expressão (n – 2) . 180° e que pentágono interno é regular, então os valores dos ângulos x, y e z, respectivamente, são:

A) 30°, 120° e 75°
B) 36°, 108° e 72°
C) 45°, 95° e 70°
D) 36°, 150° e 60°
E) 45°, 90° e 60°

Prepare-se para o vestibular com o Estratégia!

Esteja pronto da melhor forma com o Estratégia Vestibulares, com aulas completas, materiais atualizados e plano de estudos adaptado à sua rotina. Garanta sua aprovação com o Estratégia clicando no banner abaixo!