Identidade polinomial é um conceito matemático que trata sobre a relação de equivalência entre dois polinômios, quando eles são igualados pelo símbolo de igual (=). O conhecimento sobre o tema permite resolução de problemas de matemática em vestibulares, e também pode ser aplicado profissionalmente, em áreas relacionadas às exatas, ou ainda em relação à vida financeira, no cotidiano.
Conheça mais sobre identidade polinomial, com este artigo: veja a definição do conceito, como ele é aplicado e depois descubra algumas identidades polinomiais padrões que podem ser utilizadas em diferentes contextos, com as fórmulas.
Se estiver em preparação para as provas de vestibular, você pode testar seu conhecimento com uma questão teste que estará disponível ao final do artigo, com gabarito e resolução. Confira!
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O que é identidade polinomial?
O conceito de identidade polinomial trata sobre as situações em que o polinômio P(x) é igualado a outro polinômio e, para qualquer valor de x, ambos resultarão no mesmo valor numérico. Considerando, por exemplo, que a resposta de P(x) é y, P(x) = y, então, para que outro polinômio Q(x) faça uma identidade polinomial com P(x), é necessário que Q(x) = y.
P(x) = Q(x), se, para qualquer valor Q(x)=P(x)=y
Polinômios
Para compreender plenamente essa definição, é importante manter em mente qual a caracterização de um polinômio. Um polinômio é uma expressão matemática formada por termos numéricos, que é a multiplicação de um coeficiente numérico an {a ∊ |R}, por uma incógnita x que estará elevada à enésima potência (xn), em que n>0. A partir disso, existem outros termos formados por an-1.xn-1, an-2.xn-2 e assim sucessivamente, até que o último termo seja a0.x0. Veja a fórmula geral:
P (x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x1 + a0
O primeiro termo apresentado (anxn) é o termo de enésimo grau, ele classifica o polinômio em relação ao grau da maior potência que está elevando a incógnita. Assim, a expressão pode ser divida em pequenos compartimentos, de forma que a2x2 é o termo de segundo grau, a1x1 é o termo de primeiro grau e assim sucessivamente.
A partir dessa denominação, um polinômio P(x) = 5x7+ 2x3 – x possui grau 7. O termo de sétimo grau é 5.x7, o termo de terceiro grau será 2x3 e o de primeiro grau -1.x. Já os coeficientes de graus 6,5,4 e 2 não aparecem na representação, isso significa que são coeficientes nulos a=0 (0.x6, 0.x5, 0.x4, 0.x2).
Diante disso, quando uma identidade polinomial é estabelecida, é necessário que ambos os cálculos apresentem coeficientes iguais para termos do mesmo grau. Inclusive, ambos os cálculos devem ter o mesmo grau. Acompanhe no exemplo abaixo:
P(x) = Q(x)
P(x) = 3x4 + 15x
Conforme o que foi descrito anteriormente, P(x) é um polinômio do quarto grau, então, Q(x) também deve ser. Como os coeficientes devem ser iguais, é importante reescrever a expressão numérica com todos os valores de a, mesmo que sejam nulos.
P(x) = 3x4 + 0x3 + 0x2 + 15x
Com base na expressão apresentada acima, para que P(x) = Q(x), é necessário que os coeficientes de Q(x) sejam tais que:
a4 = 3
a3 = 0
a2 = 0
a1 = 15
Note que a expressão reduzida do polinômio Q(x) deve ter esses coeficientes, então, mesmo que o cálculo tenha operações com coeficientes de valores diferentes desses, é necessário manipulá-lo até sua forma irredutível. Só assim é possível determinar se há ou não identidade polinomial, perceba:
Q(x) = -x2 + 4x4+ 3x3 + 2x2 – 2x3 – x4 + 8x – x2.x – x.x + 7x
Q(x) = -x2 + 4x4+ 3x3 + 2x2 – 2x3 – x4 + 8x – x3 – x2 + 7x
Q(x) = + 4x4 – x4 -x2 + 3x3 + 2x2 – 2x3+ 8x – x3 – x2 + 7x
Q(x) = + 3x4 -x2 + 3x3 + 2x2 – 2x3+ 8x – x3 – x2 + 7x
Q(x) = + 3x4+ 3x3– 2x3 – x3 – x2 + 2x2 + 8x – x2 + 7x
Q(x) = + 3x4+ 0x3 – x2 + 2x2 + 8x – x2 + 7x
Q(x) = + 3x4+ 0x3 – x2 + 2x2 – x2 + 8x + 7x
Q(x) = + 3x4+ 0x3 + 0x2 + 8x + 7x
Q(x) = + 3x4+ 0x3 + 0x2 + 8x + 7x
Q(x) = + 3x4+ 0x3 + 0x2 + 15x
Q(x) = + 3x4+ 0x3 + 0x2 + 15x
Veja que, embora as contas não aparentassem semelhança ao início do cálculo, a correta manipulação matemática permitiu perceber que há uma identidade polinomial entre P(x) e Q(x).
a4 = 3
a3 = 0
a2 = 0
a1 = 15
Polinômio identicamente nulo
Existe também a identidade polinomial do tipo nula, ou seja, quando o valor do polinômio é sempre 0, independentemente do valor de x. Esses polinômios são conhecidos como identicamente nulos.
P(x) = 0, {x ∊ |R}
Em geral, polinômios que apresentam identidade nula são aqueles que possuem algum tipo de fator multiplicador nulo, conforme os exemplos abaixo:
P(x) = 0.(x+4).(x2+3)
P(x) = (-8 + 5 + 3)(x3+ 2x2+ 12)
P(x) = x2 – x.x
Identidades polinomiais notáveis
Algumas identidades polinomiais são usadas com frequência na matemática, por isso são conhecidas como identidades polinomiais notáveis. São expressões e fatorações que já estão preconizadas, com fórmulas específicas que podem simplesmente serem substituídas durante os cálculos. Conheça algumas a seguir:
- Quadrado da soma de dois termos: (a+b)2 = a2 + 2.a.b + b2
- Quadrado da diferença de dois termos: (a-b)2 = a2 – 2.a.b + b2
- Produto da soma pela diferença de dois termos: (a+b).(a-b) = a2 – b2
- Cubo da soma de dois termos: (a+b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
- Cubo da diferença de dois termos: (a-b)3 =a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Considere que a e b são dois números reais quaisquer, que podem ser substituídos nessas fórmulas, por exemplo, para encontrar o cubo da diferença entre 7 e 4, consideremos que a=7 e b=4, então:
(7 – 4)3 = 73 – 3.72.4 + 3.7.42 – 43
(7 – 4)3 = 343 – 3.49.4 + 3.7.16 – 64
(7 – 4)3 = 343 – 588 + 336 – 64
(7 – 4)3 = 27
Podemos fazer a prova real resolvendo a conta (7 – 4)3:
(7 – 4)3 = (3)3
(7 – 4)3 = 3.3.3
(7 – 4)3 = 9.3
(7 – 4)3 = 27
+ Veja também: Produtos notáveis: definição, fórmulas e aplicações
Questões de vestibulares sobre identidade polinomial
Fuvest (1987)
A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Resposta: Temos que
(𝒂+𝒃)³ − 𝒂³ − 𝒃³ = 𝟑𝒂𝒃² + 𝟑𝒂²𝒃 = 𝟑𝒂𝒃(𝒂+𝒃)
O que mostra que a diferença é múltiplo de 𝟑. Das alternativas, a única possível é 6.
Para isso, faça 𝒂 = 𝒃 = 𝟏
Alternativa correta: C.
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