Intervalos reais: o que são e como representar

Intervalos reais: o que são e como representar

Os intervalos reais representam a quantidade infinita de números que podem existir entre um número e outro no conjunto numérico dos reais. No artigo a seguir, você verá como é delimitado um intervalo real e como descrevê-lo. Leia agora!

Conjuntos numéricos e intervalos reais

O conjunto numérico que permite a observação dos intervalos reais é composto pela união de outros grupos numéricos. Nos tópicos a seguir você conhecerá melhor as propriedades de cada um dos agrupamentos.

Números naturais (lN)

No grupo dos números naturais, a contagem se inicia em zero e sempre aumenta em uma unidade — não admitindo elementos negativos, da seguinte forma: lN = {0,1,2,3,4,5…}.

As reticências no final da notação representam a infinidade de números naturais que podem ser encontrados na matemática. Além disso, quando um asterisco é adicionado ao símbolo do conjunto, o valor zero é excluído da sequência: lN* = {0,1,2,3,4,5,6,7…}.

Números inteiros (Z)

Para chegar ao conjunto dos números inteiros, basta adicionar os elementos negativos ao grupo dos números naturais: Z = {…-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4…}. Observe como as reticências aparecem tanto no lado negativo quanto no lado positivo do conjunto, o que demonstra sua infinitude de valores acima e abaixo de zero. 

A forma como o símbolo Z aparece também delimita qual parte do conjunto se deseja obter, veja:

  • Números inteiros não nulos: Z* = {…-3,-2,-1,+1,+2,+3,+4…};
  • Números inteiros positivos: Z+ = {0,+1,+2,+3,+4…};
  • Números inteiros positivos e não nulos: Z*+ = {+1,+2,+3,+4…};
  • Números inteiros negativos: Z= {…-3,-2,-1,0}; e
  • Números inteiros negativos e não nulos: Z* = Z= {…-3,-2,-1}.

Números racionais (Q)

Todos os números que podem ser expressos em forma de fração (m/n) são parte do conjunto dos números racionais, desde que m e n sejam inteiros, com n≠0. 

São englobados nos números racionais os valores fracionários, dízimas periódicas, naturais e inteiros. A notação segue o mesmo padrão do que já foi estabelecido até aqui, veja um exemplo: Q = {…-1,- 1⁄2, 0,+½,+1,+3/2…}

Números irracionais (Ⅰ)

Por sua vez, os números irracionais são as dízimas não periódicas e infinitas. Os principais representantes desse conjunto numérico são o número pi (?) e as raízes não exatas, como √5,√7, entre outras. 

Veja, para diferenciar os números racionais dos irracionais é importante saber que as dízimas periódicas se repetem após uma determinada sequência numérica após a vírgula. Por exemplo ⅓=0,333…, com a repetição do número “3”, ou 7,152415241524, veja como a sequência numérica “1524” se repete nos decimais.

Já as dízimas não periódicas e irracionais, não possuem uma repetição sistemática de valores decimais. Veja o valor de pi, que é obtido da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro p/d = ? = 3,14159265358979 e assim por diante, sem o aparecimento de uma sequência repetida pelos 22 trilhões de dígitos já estudados. 

Números reais (lR)

Por fim, o conjunto dos números reais representa a união de todos esses grupos como subconjuntos. Como pode ser melhor observado no diagrama abaixo:

Intervalos reais e conjuntos numéricos

Note que o subgrupo dos números irracionais está contido nos números reais, mas não é parte dos outros subconjuntos (lN, Z e Q). Isso indica a particularidade dos valores irracionais frente aos outros conjuntos numéricos. 

Intervalos reais: o que são?

Em meio aos números reais (lR), é impossível definir a quantidade de elementos presentes entre um valor e outro. Isso acontece porque existem infinitos números que se encaixam entre 1 e 2, no intervalo dos reais.

Como em lR são considerados todos os subconjuntos podemos colocar que entre 1 e 2 temos os valores 1,1; 1,12; 1,13; 1,1244; 1,5; 1,34; 1,56 e milhares de outros exemplos que são modificados pela adição de dígitos decimais. 

Por isso, em termos matemáticos, foi necessária a criação de um sistema representativo que facilitasse a escrita de um intervalo real. Por meio de retas ou escrita extensa, é possível delimitar valores reais e descrever infinitos elementos.

Como representar intervalos reais

Intervalos fechados

Os intervalos reais fechados englobam os números reais que delimitam sua existência. Seria, por exemplo, o intervalo entre 10 e 25 com a inclusão desses dois valores na contagem. Na representação gráfica será:

Intervalos reais fechados

As bolinhas pintadas em preta representam a existência dos valores 10 e 25 na sequência intervalar. A linha marcada em preto entre os dois números demonstra a continuidade e infinitude de valores no intervalo.

Caso seja necessário marcar esse intervalo real com termos matemáticos, temos:

{x ∊ lR | 10 ≤ x ≤ 25} — lê-se “x pertence aos reais tal que x seja maior ou igual a 10 e menor ou igual a 25”. 

Além disso, os colchetes podem ser utilizados para fazer essa representação: [10;25]. Nesse caso, quando o colchete está virado “para dentro” do número, esse valor está incluso no intervalo.

Intervalos semiabertos

Os intervalos reais semiabertos são aqueles em que pelo menos um dos valores delimitadores não estão incluídos no subgrupo. Se, por exemplo, deseja-se representar o intervalo real entre 5 e 7, sem que o 7 esteja incluso, a descrição pode ser feita da seguinte maneira:

Intervalos reais semiabertos

Note que a bolinha que demarca o número 7 não está pintada. Essa é a representação gráfica da não inclusão de um valor no intervalo real. Na descrição numérica seria:

{x ∊ lR | 5 ≤ x < 7} que se lê “x pertence aos reais tal que x seja maior ou igual a 5 e menor que 7”. 

Observe que a diferença da notação está na troca do “≤” por “<”, o que exclui o valor 7 do intervalo. Nos colchetes temos que: [5;7[, em que o colchete aberto indica o não pertencimento de 7.

Intervalos abertos

Os intervalos reais abertos acontecem quando os dois valores extremos não estão inclusos no intervalo. Na mesma lógica do que aprendemos até aqui, observe a representação gráfica e matemática:

Intervalos reais abertos

Como demonstra a reta real com a marcação do intervalo, nem 4 e nem 9 estão incluídos na delimitação. De forma que { x ∊ lR | 4 < x < 9}, ou seja, “x pertence aos reais tal que x seja maior que 4 e menor que 9”. Ou ainda ]4;9[.

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