Muitas questões de matemática do Enem e vestibulares envolvem triângulos. Com frequência, a Lei dos Cossenos pode ser útil para encontrar as medidas dos lados ou dos ângulos de um triângulo.
Neste artigo, você irá aprender a Lei dos Cossenos para aplicá-la nas provas corretamente. Leia-o com atenção e fique por dentro de tudo!
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O que é a Lei dos Cossenos?
Utilizada para encontrar lados ou ângulos de triângulos não retângulos, a Lei dos Cossenos amplia nossas ferramentas para resolução de problemas que envolvam triângulos, sendo útil especialmente nos casos em que não seja possível aplicar a Lei dos Senos.
A Lei dos Cossenos determina que, para qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, subtraindo o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles. Essa afirmação pode ser traduzida na fórmula abaixo:
Pré-requisitos para compreender a Lei dos Cossenos
Funções trigonométricas no triângulo retângulo
Os valores das principais funções trigonométricas dos ângulos (seno, cosseno e tangente) podem ser encontrados por meio dos triângulos retângulos, em que há algumas relações fixas que facilitam a identificação dos valores das funções trigonométricas.
Nesse sentido, em um triângulo retângulo qualquer, para qualquer ângulo (exceto o de 90º), são válidas as relações determinadas na tabela abaixo:
Dessa forma, para um ângulo α em um triângulo retângulo ABC, representado abaixo, podemos encontrar as seguintes relações:
- sen α = x/z
- cos α = y/z
- tg α = x/y
Funções trigonométricas dos ângulos notáveis
O seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) são os mais recorrentes nas questões, sendo importante conhecê-los previamente. Utilize a tabela abaixo para aprender as razões trigonométricas dos ângulos notáveis:
Ciclo trigonométrico
O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 centrada na origem de um plano cartesiano. Ele serve para representar ângulos e os valores das funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) de forma visual.
No contexto do estudo da Lei dos Cossenos, o ciclo trigonométrico é importante, principalmente, para entender o sinal do cosseno, que é positivo no primeiro e quarto quadrantes, e negativo no segundo e terceiro.
Isso ocorre porque o cosseno é a representado pela reta horizontal do ciclo trigonométrico, conforme demonstrado na imagem a seguir:
Quando usar a Lei dos Cossenos?
A Lei dos Cossenos é aplicável em dois casos principais:
- Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado): quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles. Usa-se a fórmula para encontrar o terceiro lado.
- Caso LLL (Lado, Lado, Lado): quando você conhece os três lados e quer encontrar um dos ângulos.
OBS: se o ângulo conhecido não estiver entre os dois lados, use a Lei dos Senos. A posição do ângulo é crucial!
A Lei dos Cossenos e o Teorema de Pitágoras
Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (a2 = b2 + c2).
No caso de um triângulo retângulo com ângulo de 90°, veja o que acontece com a Lei dos Cossenos:
a2 = b2 + c2 – 2bc ⋅ cos(90º)
Como cos(90º) = 0:
a2 = b2 + c2 – 2bc ⋅ 0
a2 = b2 + c2
Ou seja, o Teorema de Pitágoras é uma forma especial da Lei dos Cossenos quando o ângulo é reto.
Lei dos Cossenos x Lei dos Senos
Apesar dos nomes semelhantes, há algumas diferenças entre a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos como as suas fórmulas e os casos em que cada lei pode ser utilizada. Veja a tabela a seguir para entender essas diferenças:
| Lei dos Senos | Lei dos Cossenos |
| Usa proporções com senos | Usa fórmula com cosseno e produtos |
| Melhor para casos AAL ou ASA | Melhor para casos LAL e LLL |
 | a² = b² + c² – 2bc ⋅ cos α |
Muitas vezes, os dois teoremas são usados juntos em um mesmo exercício. Por exemplo, primeiro usa-se a Lei dos Cossenos para encontrar um lado, depois a dos Senos para encontrar um ângulo.
Erros comuns na aplicação da Lei dos Cossenos
- Esquecer o termo “−2bc⋅cos α” ou escrever errado;
- Usar o ângulo errado: no caso LAL, o ângulo deve estar entre os lados;
- Calcular errado o cosseno de ângulos obtusos (ele será negativo); e
- Erros algébricos ao isolar o cosseno ou extrair raízes.
Aplicações da Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos não é útil apenas para resolver triângulos no papel. Ela aparece:
- Na Física, especialmente com vetores e na regra do paralelogramo;
- Na Geometria Analítica, para calcular distâncias entre pontos; e
- Em problemas de navegação, onde os deslocamentos formam ângulos não retos.
Questões envolvendo Lei dos Cossenos
UFPR (2014)
Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?
A) 10km.
B) 14 km.
C) 15km.
D) 17km.
E) 22km.
Resposta:
GABARITO: ALTERNATIVA B.
Como se passou 1 hora, o navio A percorreu 16 km e o navio B percorreu 6 km. Utilizando a Lei dos Cossenos para encontrar a distância entre os navios, temos:
𝑑² = 16² +6² −2 . 16 . 6 . cos60°
𝑑² = 256 + 36 − 192 . 1/2
𝑑² = 292 − 96
𝑑² = 196
𝑑 = 14 𝑘𝑚
UFSCar (2006)
Se os lados de um triângulo medem x, x + 1 e x + 2, então, para qualquer x real e maior que 1, o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é igual a:
A) x / x + 1
B) x / x + 2
C) x + 1 / x + 2
D) x – 2 / 3x
E) x – 3 / 2x
Resposta:
Alternativa E
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