Lugar geométrico é definido como um conjunto de todos os pontos de um plano que possuem uma mesma propriedade. Neste texto você irá aprender mais sobre os lugares geométricos a partir de quatro conceitos fundamentais: mediatriz, bissetriz, mediana e altura de triângulos. Além disso, exploraremos algumas questões para reforçar o entendimento. Vamos nessa?
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Aplicações dos lugares geométricos
Os conceitos de lugar geométrico são úteis em diversos contextos, como nas questões sobre curvas. Veja, abaixo, alguns exemplos muito conhecidos:
- Uma circunferência de raio r e centro O é o lugar geométrico dos pontos que estão a uma distância r do ponto O. No nosso dia a dia, podemos encontrá-los em uma circunferência de um relógio ou em bambolês, por exemplo.
- Já a parábola, é o lugar geométrico dos pontos de um plano que estão a uma mesma distância de uma reta fixa (reta diretriz) e de um ponto fixo (foco). As parábolas também estão presentes no cotidiano, principalmente nos Lançamentos Oblíquos, como ao lançarmos uma bola em um jogo de vôlei ou de basquete.
Veja mais:
+Posições relativas entre retas na Geometria Plana: entenda o assunto
Mediatriz
A mediatriz é o lugar geométrico de todos os pontos que encontram-se equidistantes das duas extremidades de um segmento de reta. Dessa maneira, podemos dizer que uma mediatriz é uma reta que passa pelo ponto médio de um segmento de reta e é perpendicular a esse segmento.
Questão sobre mediatriz
Enem PPL (2019)
Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações:
(i) um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições das câmeras 1 e 2, conforme a figura.
(ii) cinco relações entre as coordenadas (x ; y) da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada.
O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações apresentadas para instalar a terceira câmera.
A relação escolhida pelo instalador foi a
A) R1
B) R2
C) R3
D) R4
E) R5
Resolução
GABARITO: ALTERNATIVA D
Precisamos encontrar a equação da reta que seja equidistante aos pontos das câmeras já existentes, C1 (3,1) e C2 (2,4). Assim, teremos:
Isolando o y, temos:
y=x+5/3
Ou y=x/3+5/3
O que é equivalente a 
Bissetriz
A bissetriz de um ângulo é a semirreta que parte do vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes (iguais). Em triângulos, a bissetriz interna divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes ao ângulo.
A bissetriz pode ser útil, por exemplo, para determinarmos o incentro de um triângulo. O incentro é o ponto onde as três bissetrizes internas de um triângulo se encontram. Dessa forma, para encontrar o incentro, basta construir as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.
Questão sobre bissetriz
UECE (2018)
No quadrilátero XYZW as medidas dos ângulos internos Z e W são respectivamente 128º e 76º. Se as bissetrizes dos ângulos internos X e Y cortam-se no ponto O, pode-se afirmar corretamente que a medida do ângulo XÔY é igual a
A) 156º
B) 78º
C) 204º
D) 102º
Resolução
GABARITO: ALTERNATIVA D
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360º.
x+y+z+w = 360°.
Como z = 128° e w = 76°, então X+Y+128+76 = 360 → X+Y = 360 – 204 → X+Y = 156°.
Os segmentos XO, YO e XY formam um triângulo XYO no interior do quadrilátero, conforme mostrado na imagem:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
Ângulos do triângulo XYO: X/2, Y/2 e XÔY.
X/2 + Y/2 + XÔY = 180
156/2 + XÔY = 180
XÔY = 180 – 78
XÔY = 102º
Mediana do triângulo
A mediana de um triângulo é um segmento de reta que conecta um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. Portanto, cada triângulo possui três medianas, uma para cada vértice.
Além disso, é importante destacar que as três medianas de um triângulo são concorrentes em um ponto chamado baricentro e o baricentro divide cada mediana na razão de 2:1.
Altura de um triângulo
A altura de um triângulo é o segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e é perpendicular ao lado oposto (ou ao seu prolongamento). Esse lado oposto é denominado base do triângulo. Cada triângulo possui três alturas, uma para cada vértice. As alturas são utilizadas em diversas aplicações geométricas, especialmente no cálculo da área de um triângulo.
O ponto de interseção das três alturas de um triângulo é denominado ortocentro. As propriedades do ortocentro variam conforme o tipo de triângulo:
- No triângulo acutângulo, o ortocentro está dentro do triângulo.
- No triângulo retângulo, o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto.
- No triângulo obtusângulo, o ortocentro está fora do triângulo.
Veja mais:
+Triângulos: definição, perímetro, área, classificações
Questão envolvendo cálculo de altura de triângulos
Enem (2017)
A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando feito em vias urbanas.
Caminhão entala em viaduto no Centro
Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto.
Disponível em: www.caminhoes-e-carretas.com. Acesso em: 21 maio 2012 (adaptado).
Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos.
A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total do veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão do viaduto.
Considere 1,7 como aproximação para √3.
Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu vão?
A) 2,82
B) 3,52
C) 3,70
D) 4,02
E) 4,20
Resolução
GABARITO: ALTERNATIVA D
Unindo os centros das circunferências, formamos um triângulo equilátero de lado 1,2 metro. A altura desse triângulo é dada por:
A altura dessa pilha de troncos é:
H = 0,6 + 1,02 + 0,6 = 2,22 m
Como a carroceria desse caminhão está a 1,30 m do solo e a distância entre o topo do caminhão e o vão do viaduto deve ser de, no mínimo, 0,50 m. A altura total é 2,22 + 1,30 + 0,50 = 4,02 m.
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