Os números complexos são um conjunto numérico que inclui todos os valores que não se enquadram no conjunto dos números reais. Assim, podem ser considerados como imaginários, mas têm grande importância para o desenvolvimento de cálculos melindrosos que surgem nos estudos de exatas e aplicação dos conteúdos em engenharia, física e áreas correlatas.
O conhecimento de números complexos pode ser requerido e aprofundado, principalmente em cursos de graduação que possuem disciplinas inteiras focadas em cálculo matemático. Além disso, nos vestibulares, muitas universidades costumam cobrar esse conteúdo em seus princípios básicos.
Por ser um tema relevante para os vestibulares, a Coruja reuniu as principais informações, definições, propriedades e questões que envolvem os números complexos e suas aplicações. Continue lendo.
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Definição de números complexos
Os números complexos não estão englobados no conjunto dos números reais, na verdade, esse grupo de valores foi criado a partir de uma necessidade importante encontrada na matemática: por muito tempo, não existia um valor ou algarismo definido para explicar numericamente uma raiz quadrada de número negativo.
Veja, esse dilema matemático tem grande importância porque, ao resolver equações quadráticas, a fórmula de Báskara possui uma raiz quadrada. Muitas vezes, ao concluir o cálculo, o valor encontrado inclui uma raiz quadrada com um número negativo dentro, como x2 = -81 ⇀ x = √-81.
Então, para encontrar uma forma de prosseguir e quantificar essas raízes negativas, criou-se o conjunto de números complexos que é representado pela letra .
Estrutura de um número complexo
Os números complexos (z) são formados por duas partes: uma real e a outra imaginária. Na parte real estão valores do conjunto dos números reais, representados pela letra a. Já o elemento imaginário é representado pela letra i, e está sempre acompanhado do coeficiente b, como mostra a estrutura abaixo:
z = a + b.i
(Forma algébrica do número complexo Z)
Na forma como está descrito, o número complexo pode ser representado como uma coordenada, de forma que Z (a,b). Com isso, é possível até mesmo realizar operações gráficas com números complexos.
Note que a letra i não é um coeficiente na equação, mas a unidade imaginária que dá origem aos números complexos de forma que i = √-1. Aqui, surge um novo questionamento: apenas substituir √-1 pelo símbolo i não seria resolutivo para a problemática apresentada. Então, alguns cálculos são predeterminados em relação a esse valor imaginário:
| Potência da unidade imaginária | Cálculo | Valor da potência |
| i1 | √-1 | √-1 |
| i2 | √-1.√-1 = -1 | -1 |
| i3 | √-1.√-1.√-1 = -1.√-1 = -i | -i |
| i4 | √-1.√-1.√-1.√-1 = -1.-1 = 1 | 1 |
Com essa tabela, é possível representar e fazer cálculos com raízes de números negativos de forma mais fácil, rápida e direta.
Classificação de números complexos
Como apresentado anteriormente, os números complexos também contêm números reais em sua estrutura. Mas, a depender do cálculo ou situação, pode-se chegar a um valor em que o coeficiente real a é nulo. Nesses casos, o número complexo Z não possui parte real e é classificado como imaginário puro.
Por outro lado, em algumas situações, após o término dos cálculos, a parte imaginária pode ser nula, com o coeficiente b = 0. Nesses casos, torna-se um número pertencente ao conjunto numérico dos Reais.
| Estrutura do número complexo | Classificação |
| z = a + b.i | Número complexo |
| z = b.i | Número complexo imaginário puro |
| z = a | Número real |
Números complexos conjugados
Os números complexos possuem um par que é chamado de conjugado, representado por 
. A conjugação de um número z resume-se a inversão do sinal que acompanha a parte imaginária do número:
z = a + b.i
= a – b.i
A conjugação dos números complexos pode ser importante na resolução de cálculos e substituições porque todo número complexo multiplicado por seu conjugado resulta em um número real, como demonstrado a abaixo:
z. = (a + b.i) . (a – b.i)
z. = a2 – a.b.i + b.i.a – b2.i2
z. = a2 – b2.i2
Com i2 = -1, então, o cálculo será resumido em:
z. = a2 – b2.(-1)
z. = a2 + b2
Note que, nessa demonstração, a unidade imaginária i desaparece após a multiplicação completa de z e seu conjugado.
Operações com números complexos
Igualdade entre números complexos
O primeiro passo para entender operações e equações entre números complexos está na compreensão de que, se dois desses valores estão igualados, significa que suas partes reais são iguais entre si, assim como as operações com os coeficientes da unidade imaginária serão iguais, como está descrito:
a + bi = c + di
a = c (partes reais equivalentes)
b = d (partes imaginárias equivalentes)
Adição e subtração de números complexos
Para a adição e a subtração de números complexos parte-se do mesmo princípio demonstrado anteriormente: as partes reais e imaginárias são calculadas de maneira separada, porque são coeficientes de conjuntos numéricos diferentes.
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di)
z1 + z2 = (a + c) + i (b + d)
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di)
z1 – z2 = (a – c) + i (b – d)
Veja exemplos:
(2 + 5i) + (7 – 2i) = (2 + 7) + (5i – 2i)
(2 + 5i) + (7 – 2i) = (9) + i(5 – 2)
(2 + 5i) + (7 – 2i) = 9 + 3i
(2 + 5i) – (7 – 2i) = (2 – 7) + (5i – 2i)
(2 + 5i) – (7 – 2i) = (-5) + i(5 – 2)}
(2 + 5i) – (7 – 2i) = -5 -3i
Multiplicação
A multiplicação segue a propriedade distributiva, porque são números baseados em duas partes que se somam ou subtraem. Assim:
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1.z2 = (a + bi) . (c + di)
z1.z2 = ac + adi + bci + bdi2, como i2 = -1, então a conta se altera para
z1.z2 = ac + adi + bci – bd
Nesse caso, a parte real da conta será ac – bd, já a parte imaginária é i.(ad + bc).
Divisão de números complexos
A divisão de números complexos depende também de conhecer o conjugado do número. Para a divisão de z1 por z2, faz-se a multiplicação entre a fração z1/z2 e uma fração em que o conjugado do denominador seja numerador e denominador z2/z2, como está descrito na fórmula abaixo:
Plano complexo
O plano complexo é um tipo de plano para a criação de gráficos em que as ordenadas e abscissas são referentes aos números complexos. O eixo horizontal representa a parte real do número (a), enquanto o eixo vertical indica a porção imaginária (b).
Essa representação gráfica é importante tanto para o desenvolvimento de cálculos avançados, como também é relevante saber escrever algebricamente um número que está disposto no plano complexo, também chamado de plano de Argand-Gauss, em homenagem aos matemáticos que se envolveram no desenvolvimento dessa ferramenta.
Questões sobre números complexos
Unicamp (2015)
Sejam 𝑥 e 𝑦 números reais tais que 𝑥 + 𝑦𝑖 = √(3 + 4𝑖), onde 𝑖 é a unidade imaginária. O valor de 𝑥𝑦 é igual a
A) −2.
B) −1.
C) 1.
D) 2.
Alternativa correta: D.
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