Os polinômios desempenham um papel fundamental no estudo da matemática. Tendo em vista sua variada aplicabilidade, esse assunto costuma ser cobrado no Enem e vestibulares em diversos contextos, como na determinação de áreas e volumes, na análise de padrões em progressões numéricas e na interpretação gráfica.
Para explorar essas aplicações, é essencial dominar conceitos básicos, como o Teorema do Resto, relações de Girard e cálculo de raízes de funções polinomiais. Preparado para aprender mais? Vamos nessa!
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O que são polinômios?
Em síntese, os polinômios podem ser definidos como equações em que há monômios separados por operações de adição ou subtração. Nessas equações, encontramos letras, denominadas variáveis, e números que multiplicam-nas, denominados coeficientes. Além disso, há os expoentes, que representam as potências da variável.
Dessa maneira, a variável elevada a um expoente e multiplicada por um coeficiente, forma um termo do polinômio.
- Para um polinômio genérico: P(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + … + a1x + a0
- Coeficientes: an, an-1, an-2, …, a1, a0
- Variável: x
- Termos: anxn, an−1xn−1, an−2xn−2, … , a1x, a0
Grau de um polinômio
É possível identificar expoentes distintos em cada termo do polinômio. Nesse sentido, é necessário verificar o termo cuja variável apresenta maior expoente para, então, determinarmos o grau do polinômio em questão. Assim, o grau do polinômio será de mesmo valor do maior expoente encontrado.
Exemplos:
- P(x)= 2x3 − x2 + 4x − 5
- O maior expoente é 3 (encontrado no termo 2x3), o que indica que o grau desse polinômio é igual a 3.
- P(x)= 5x4 – 7x3 + 2x2 + 4x − 1
- O maior expoente é 4 (encontrado no termo 5x4), o que indica que o grau desse polinômio é igual a 4.
Classificação dos polinômios
Os polinômios são classificados de acordo com a quantidade de termos encontrados, da seguinte maneira:
- Monômio: polinômio com apenas um termo (3x2)
- Binômio: polinômio formado por dois termos (x + 5)
- Trinômio: polinômio composto por três termos (x2 + 5x – 1)
- Polinômio geral: quando há quatro ou mais termos, não há uma nomenclatura especial (6x4 + x3 + 2x2 + x − 4)
Raízes de um polinômio
As raízes de um polinômio são os valores que tornam o polinômio igual a zero quando o substituímos na variável. Dessa forma, sendo P(x) um polinômio, então r será raiz se P(r) = 0. Para encontrarmos as raízes, podemos utilizar alguns métodos, como Teorema do Resto, Teorema de D’Alembert.
Teorema do resto
Segundo esse teorema, o resto (R) da divisão um polinômio P(x) por um binômio ax + b é igual ao valor desse polinômio para x = -b/a. Portanto, o resto (R) dessa divisão será calculado da seguinte maneira: P(-b/a) = R.
Exemplo:
Verifique se polinômio P(x) = x3 − 4x2 + 5x − 2 é divisível por x – 2.
- Devemos calcular o resto da divisão de P(x) por x – 2. Para isso, calcularemos o valor desse polinômio para x = 2.
- Calculamos o valor de P(x) para x = 2:
P(2) = 23 − 4.(22) + 5.2 − 2
P(2) = 8 – 4.4 + 10 – 2
P(2) = 8 – 16 + 10 – 2
P(2) = 0 - Como P(2) = 0, o resto da divisão é igual a 0.
Teorema de D’Alembert
Esse teorema é uma consequência do teorema do resto. De acordo com esse teorema, em uma divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo x – a, o resto será igual a zero se e somente se a constante a for raiz do polinômio P(x).
Portanto, levando-se em consideração também o Teorema do Resto, pode-se afirmar que P(a) = 0, se e somente se, “a” for raiz do polinômio.
Exemplo:
Confira, através do Teorema de D’Alembert, se o polinômio P(x) = x2 – 5x + 6 é divisível por x-2.
- Para o divisor x – 2, a constante a é igual a 2.
- Devemos conferir se 2 é raiz do polinômio. Para isso, P(2) deve ser igual a 0.
P(2) = 22 – 5.2 + 6
P(2) = 4 – 10 + 6
P(2) = -6 + 6
P(2) = 0, então chegamos à conclusão de que P(x) é divisível por x – 2.
Número de raízes complexas de um polinômio
Um polinômio de grau n possui exatamente n raízes no conjunto dos números complexos, contando as multiplicidades. Por exemplo, o polinômio P(x)=(x−2)2(x+3) é de grau 3 e possui as raízes x=2 (multiplicidade 2) e x=−3 (multiplicidade 1).
Veja mais:
+ Teorema fundamental da álgebra
Relações de Girard
As relações de Girard são fórmulas que conectam os coeficientes de um polinômio com as raízes desse polinômio. Elas são úteis porque nos permitem calcular somas e produtos das raízes sem precisar encontrá-las explicitamente.
Relações de Girard para polinômios de 2º grau
Considerando um polinômio P(x)=ax2 + bx + c, com raízes x1 e x2.
- Soma das raízes:
x1 + x2= −b/a. - Produto das raízes:
x1.x2 = c/a - Demonstração da relação de Girard para polinômios de 2º grau:
- As raízes x1 e x2 podem ser encontradas pela fórmula de Bhaskara:
- Então, a soma de x1 e x2 será:
- E o produto de x1 e x2 será:
- As raízes x1 e x2 podem ser encontradas pela fórmula de Bhaskara:
Relações de Girard para polinômios de 3º grau
Considerando, agora, P(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0, com raízes x1, x2 e x3:
- Soma das raízes:
x1 + x2 + x3 = – b/a - Soma do produto das raízes tomadas duas a duas:
x1⋅x2 + x1⋅x3 + x2⋅x3 = c/a - Produto de todas as raízes:
x1⋅x2⋅x3 = −d/a
Relações de Girard para polinômios de grau n
Para com um polinômio P(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + … + a1x + a0, com raízes x1, x2, x3, … , xn.
- Soma das raízes:
x1 + x2 + x3 + … + xn = – an−1/an - Soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas:
x1x2 + x1x3 + x1x4 + … + xn-1xn = an−2/an - Produto das raízes (todas):
x1x2…xn-1xn = (-1)n a0/an
Exercícios envolvendo relações de Girard
- Considere o polinômio P(x) = − 4x2 + 5x − 2. Determine:
a) A soma das raízes.
b) O produto das raízes. - Considere o polinômio P(x) = 2x3 − 3x2 − 5x + 6. Determine:
a) A soma das raízes.
b) A soma do produto das raízes tomadas duas a duas.
c) O produto das raízes.
Respostas
a) x1 + x2 = -b/a
x1 + x2 = -(-5/4)
x1 + x2 = 5/4
b) x1x2 = c/a
x1x2 = 2/4
x1x2 = 1/2
a) x1 + x2 + x3 = -b/a
x1 + x2 + x3 = -(-3/2)
x1 + x2 + x3 = 3/2
b) x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a
x1x2 + x1x3 + x2x3 = -5/2
c) x1x2x3 = – d/a
x1x2x3 = -6/2
x1x2x3 = -3
Questão sobre polinômios e relações de Girard
UEA (2022)
Na equação polinomial x3 – kx2 + 5x – p = 0, em que k e p são números reais não nulos, a soma das raízes é o dobro do produto delas. Sabendo que uma das raízes é 2, os valores de k e p são iguais a
A) k = − 2 e p = 4.
B) k = 4 e p = −2.
C) k = − 4 e p = 2.
D) k = 4 e p = 2.
E) k = 2 e p = 4.
Resolução
Passo 1
Definimos as raízes da equação x3 – kx2 + 5x – p = 0 como x1, x2 e x3.
Sabemos que:
- x1 = 2
- A soma das raízes é o dobro do produto delas: 2 (x1.x2.x3) = x1 + x2 + x3
- Soma das raízes = x1 + x2 + x3 = -(-k/1) = k
Então:
2 (x1.x2.x3) = x1 + x2 + x3
2 (2.x2.x3) = k
4x2x3 = k
x2x3 = k/4
x1 + x2 + x3 =k
2+ x2 + x3 = k
x2 + x3 = k – 2
Passo 2
Sabemos que:
- x1 = 2
- x2x3 = k/4
- x2 + x1 = k-2
- Soma dos produtos das raízes duas a duas = x1x2 + x1x3 + x2x3 = 5
Então:
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 5
2x2 + 2x3 + x2x3 = 5
2 (x2 + x3) + x2x3 = 5
2(k-2) + k/4 = 5
2(k-2) + k/4 = 5
2k – 4 + k/4 = 5
2k + k/4 = 5 + 4
2k + k/4 = 9
8k + k = 36
9k = 36
k = 4
Passo 3
Sabemos que:
- 2x1x2x3 = x1 + x2 + x3
- x1 + x2 + x3 = k
- k = 4
- Produto de todas as raízes = x1x2x3 = -(-p/1) = p
Então:
2x1x2x3 = x1 + x2 + x3
2x1x2x3 = k
2p = k
2p = 4
p = 2
Gabarito: D) k = 4 e p = 2.
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