Semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos

Saiba em que consiste, conheça o teorema fundamental da semelhança de triângulos e como o assunto é cobrado no vestibular.

Semelhança de triângulos é uma técnica simples. Além de resolver problemas que são aplicações diretas deste assunto, ela pode ajudar bastante no desenvolvimento de questões mais complicadas de geometria plana.

Assim, é importante saber quando dois triângulos podem ser considerados semelhantes e que informações úteis podemos tirar disso, portanto o Estratégia Vestibulares preparou esse artigo para te ajudar!

No que consiste a semelhança de triângulos?

Dois triângulos são ditos semelhantes se possuírem os três ângulos congruentes e cada par de lados homólogos possuírem a mesma proporção.

Sendo que, lados homólogos são os dois lados que são opostos a ângulos iguais, cada um em um triângulo. Além disso, a notação para dois triângulos semelhantes é o símbolo “~”.

No exemplo abaixo, \large \Delta ABC \sim \Delta DEF se, e somente se,

\large \left\{\begin{matrix} \widehat{A}=\widehat{D} & & \\ \widehat{B}=\widehat{E} & & \\ \widehat{C}=\widehat{F} & & \end{matrix}\right.
\large \frac{\overline{AB}}{\overline{DE}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{DF}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}}=k
semelhança de triângulos

A razão k é chamada de razão de semelhança. Observe que se k for igual a 1, então os dois triângulos são congruentes.

Teorema Fundamental da Semelhança

Se tivermos uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e que intercepta os outros dois lados, então a reta determina um triângulo semelhante ao original. No caso abaixo a reta paralela a \large \overline{AB} intercepta os outros dois lados em D e E e então \large \Delta DEC \sim \Delta ABC

semelhança de triângulos

Esse teorema é provado por paralelismo e pelo teorema de Tales. Pois, por paralelismo temos que \widehat{D}=\widehat{A} e \widehat{E}=\widehat{B}, pelo teorema de Tales, temos que \frac{\overline{CD}}{\overline{CA}}=\frac{\overline{CE}}{\overline{CB}}. Além disso, traçamos por E uma paralela a AC. Assim, o paralelogramo ADEF nos dá que \overline{DE}=\overline{AF}, e novamente pelo teorema de Tales, temos que \frac{\overline{CE}}{CB}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AB}}. Assim, temos que além dos triângulos terem os três ângulos iguais, \frac{\overline{CD}}{\overline{CA}}=\frac{\overline{CE}}{\overline{CB}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{AB}}, ou seja, os triângulos são semelhantes.

Dica forte

Por esse teorema, vemos que ter retas paralelas nos problemas, pode ser uma boa indicação para usar semelhanças de triângulos na resolução.

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Casos de semelhança de triângulos

Como geralmente nas questões temos poucas informações acerca dos lados e dos ângulos do triângulo, os casos abaixo vão nos ajudar a identificar triângulos semelhantes.

  • Caso AA (Ângulo, Ângulo):

Se dois triângulos possuem dois ângulos iguais, então eles são semelhantes. Lembrando que para saber quais lados são proporcionais, sempre olhamos a qual ângulo cada lado está oposto.

  • Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado):

Se já soubermos que entre dois triângulos há dois pares de lados homólogos com a mesma proporção, e os ângulos entre os dois lados de cada um dos triângulos forem iguais, então os triângulos são semelhantes. Como esse caso é mais confuso, a figura abaixo ajuda a entendê-lo.

Se \left\{\begin{matrix} \frac{\overline{AB}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{DF}} & & \\ \\ \widehat{A}=\widehat{D} & & \end{matrix}\right., então \Delta ABC\sim \Delta DEF.

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  • Caso LLL (Lado, Lado, Lado):

Se um triângulo possui os três lados proporcionais aos três lados de um outro triângulo com a mesma razão, então esses triângulos são semelhantes.

Propriedades

A semelhança de triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva. Por reflexiva, entendemos que um triângulo é semelhante a si mesmo.

Por simétrica, se um triângulo é semelhante a um outro, este segundo é semelhante ao primeiro. Já por transitiva, se \Delta ABC\sim \Delta DEF e \Delta DEF \sim \Delta GHI, então \Delta ABC\sim \Delta GHI.

Portanto, podemos conseguir com um dos casos mencionados acima descobrir que dois triângulos são semelhantes, e com outro caso provar que um dos triângulos é semelhante a um terceiro.

Assim, conseguimos demonstrar que dois triângulos são semelhantes mesmo que os dois não tenham informações em comum o suficiente para se encaixar em algum dos casos.

Como cai Semelhança de Triângulos no vestibular?

Uma boa tática para resolver questões é “fazer aparecer” semelhança de triângulos através de alguma construção, como traçar uma paralela. Por isso, é sempre bom, inicialmente, desenhar a figura quando for questões de geometria plana. A questão abaixo, do vestibular do ITA, exemplifica isso.

Questão ITA 2014

Se um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm^{2}, a razão entre as medidas da altura \overline{AP} e da base \overline{BC} é igual a \frac{2}{3}. Das informações abaixo:

I – As medianas relativas aos lados \overline{AB} e \overline{AC} medem \sqrt{97}cm;
II – O baricentro dista 4cm do vértice A;
III – Se \alpha é o ângulo formado pela base \overline{BC} com a mediana \overline{BM}, relativa ao lado \overline{AC}, então cos\alpha =\frac{3}{\sqrt{97}},

é(são) verdadeira(s)

A ( ) apenas I.

B ( ) apenas II.

C ( ) apenas III.

D ( ) apenas I e III.

E ( ) apenas II e III.

Resolução Comentada

Com as informações do enunciado podemos construir a figura abaixo. Note que se \overline{AP}=8x, então, pela razão dada, \overline{BC}=12x. Como o triângulo é isósceles, então a mediana \overline{AP} é, também, altura.

Assim, através da área do triângulo, podemos calcular o valor de x:

\left[ABC\right]=\frac{\left(8x\right)\left(12x\right)}{2}=48cm^2\Rightarrow x=1cm

Uma boa construção a se fazer para esse problema, é a perpendicular a \overline{BC} partindo de M, sendo M o ponto médio de \overline{AC}. Isso porque podemos calcular o valor da mediana \overline{BM} por Pitágoras se tivermos o valor de \overline{MD}. E é aí que entra a semelhança de triângulos.

semelhança de triângulos

Os triângulos CDM e CPA são semelhantes (caso AA) e como \overline{AC}=2\ \overline{CM} então \overline{MD}=\frac{\overline{AP}}{2}=\frac{8x}{2}=4x=4cm.

Além disso,

\overline{CD}=\frac{\overline{PC}}{2}=\frac{6x}{2}=3x=3cm\Rightarrow
\overline{BD}=\overline{BC}-\overline{CD}=12x-2x=9x=9cm

De forma análoga, a mediana \overline{CN}=\sqrt{97}cm. Assim, o item I é verdadeiro.

Aplicando agora a semelhança de triângulos nos triângulos BPG e BDM (caso AA), temos que

\frac{\overline{GP}}{\overline{MD}}=\frac{6x}{9x}\Rightarrow\overline{GP}=\frac{8}{3}cm\Rightarrow\overline{AG}=8cm-\frac{8}{3}cm=\frac{16}{3}cm

Assim, o item II é falso.

Por fim, cos\alpha=\frac{\overline{BD}}{\overline{BM}}=\frac{9}{\sqrt{97}}, ou seja, o item III também é falso. Assim, a resposta da questão é o item A.

Essa questão poderia ser resolvida sem a construção de \overline{MD}, e sem utilizar semelhança de triângulos, entretanto, dessa maneira, a questão acaba saindo mais rápido pois as contas ficaram bem mais simples. Assim, vemos que a semelhança de triângulos é um artifício muito bom na resolução de questões, mas é necessário que você treine mais um pouco para pegar o jeito e conseguir enxergar os triângulos que são semelhantes em uma questão.

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