O estudo das posições relativas entre duas circunferências é essencial para compreender como essas figuras podem se relacionar no plano. A análise dessas posições depende basicamente da comparação entre os raios e a distância que separa os centros.
Nesse sentido, é possível identificar situações como circunferências externas, tangentes, secantes, internas ou concêntricas. Além disso, é útil para a resolução de problemas práticos, pois envolve raciocínio lógico, visualização espacial e desigualdades.
Neste texto você vai aprender as diferentes posições relativas entre duas circunferências, as condições matemáticas envolvidas, número de pontos em comum e aplicações práticas. Acompanhe abaixo.
Navegue pelo conteúdo
Conceitos iniciais
A delimitação dos elementos da circunferência é essencial para entendimento do conceito de posições relativas. Dentre eles temos:
- Os centros das duas circunferências: C1 e C2; e
- Os raios de cada uma: R1 e R2.
Para simplificar, vamos adotar a convenção de que o maior raio é chamado R e o menor raio é chamado r, ou seja, R ≥ r.
Outro parâmetro fundamental é a distância entre os centros, chamada de d. Formalmente:
d= dist (C1,C2)
Toda a classificação das posições relativas se baseia na comparação de d com dois valores:
- A soma dos raios (R+r); e
- A diferença absoluta entre os raios (∣R−r∣ que, sob nossa convenção, pode ser escrita como R−r).
Circunferências concêntricas
Duas circunferências são chamadas concêntricas quando possuem o mesmo centro, ou seja:
d=0
- Se os raios também forem iguais (R=r), as circunferências coincidem. Nesse caso, todos os pontos são comuns, e o número de pontos em comum é infinito; e
- Se os raios forem diferentes (R≠r), não há pontos em comum, já que uma estará inteiramente dentro da outra sem tocar.
Esse é um caso clássico em questões teóricas, em que frequentemente a dificuldade está em lembrar que duas circunferências concêntricas não necessariamente coincidem.
Circunferências externas
As circunferências são chamadas de externas quando permanecem totalmente separadas, sem pontos em comum. Observe:
A condição é:
d > R+r
Nesse caso, mesmo somando os raios, a distância entre os centros ainda é maior, impedindo qualquer contato. Portanto, o número de pontos em comum é zero.
Circunferências tangentes externas
Nesse caso, as circunferências estão encostadas externamente em apenas um ponto.
A condição é:
d=R+r.
O ponto de tangência localiza-se no segmento que une os centros, e o número de pontos em comum é um. Questões do vestibular envolvendo esses conceitos são associadas ao conceito de “tangência” e ao cálculo da distância entre os centros.
Circunferências secantes
Duas circunferências são classificadas como secantes quando se cruzam em dois pontos distintos. Observe:
A condição para esse caso é:
R−r < d < R+r
A distância entre os centros não pode ser excessiva, pois isso as tornaria externas, nem demasiadamente pequena, o que faria uma conter a outra. Quando essa condição é atendida, os dois pontos de interseção formam uma corda comum às circunferências, e o número de pontos em comum é dois.
Circunferências tangentes internas
Esse caso ocorre quando uma circunferência está dentro da outra, mas elas se tocam em apenas um ponto.
A condição é:
d=R−r.
O ponto de tangência, assim como nas tangentes externas, encontra-se alinhado com os dois centros, e o número de pontos em comum é um.
Circunferências internas (sem tangência)
Nesse caso, uma circunferência encontra-se totalmente contida na outra, sem que haja pontos de contato.
A condição é:
d<R−r
O número de pontos em comum é zero.
É fundamental distinguir essa situação das circunferências concêntricas com raios diferentes: aqui os centros são distintos, mas a distância entre eles é pequena o bastante para que a circunferência de menor raio esteja inteiramente dentro da de maior raio.
Resumo
Para sintetizar as informações, apresenta-se a seguir um quadro comparativo.
Ele serve como recurso prático de revisão e deve ser bem memorizado por quem se prepara para vestibulares.
+ Veja Também: Trigonometria: definição e principais conceitos!
Resolução de Problemas
Os vestibulares costumam explorar esse tema de diferentes maneiras:Os vestibulares costumam explorar esse tema de diferentes maneiras:
- Classificação direta: são fornecidos os valores de R, r e d, e é necessário identificar a posição relativa das circunferências.
- Problemas inversos: o enunciado descreve a posição (como tangentes internas) e fornece os raios; a tarefa é calcular a distância dentre os centros.
- Geometria analítica: conhecidos os centros em coordenadas cartesianas, calcula-se ddd pela fórmula da distância:
e depois compara-se com R+r; - Geometria analítica com equações da circunferência: quando o enunciado fornece a equação da circunferência na forma geral x2+y2+Ax+By+C=0, é necessário determinar o centro e o raio. Com esses valores, pode-se calcular a distância entre centros e classificar a posição relativa; e
- Propriedades associadas: em situações de tangência, pode ser exigida a equação da reta tangente; em casos de secantes, o cálculo do comprimento da corda comum pode ser explorado. pode ser explorado.
Determinação do centro e do raio a partir da equação da circunferência
Um ponto importante na análise das posições relativas entre circunferências é saber identificar o centro e o raio a partir da equação da circunferência. Muitas questões de vestibular pedem para classificar a posição de duas circunferências a partir delas.
A forma geral de uma circunferência é:
x2+y2+Ax+By+C=0
Para facilitar o entendimento vamos fazer o passo a passo com um exemplo numérico. Considere a equação:
x2+y2−6x+4y−3=0
Para descobrir o centro e o raio, completa-se o quadrado:
Passo 1: agrupa os termos de x e y
(x2−6x)+(y2+4y)=3
Passo 2: Completa-se o quadrado de cada variável:
(x2−6x+9)−9+(y2+4y+4)−4=3
Passo 3: Isola-se a soma dos quadrados e organiza-se os termos:
(x−3)2+(y+2)2=16
O centro é (3,−2).
O raio é:
Com esses valores, já é possível comparar com outra circunferência usando as condições que estudamos (d, R+r, R−r) para determinar se elas são externas, tangentes, secantes ou internas.
Esse procedimento conecta diretamente a geometria analítica com o estudo das posições relativas entre circunferências, tornando mais fácil resolver problemas de vestibular.
Erros comuns e como evitá-los
É comum, nesse conteúdo, surgirem alguns erros frequentes:
- Troca de desigualdades: muitos confundem d>R+r (circunferências externas) com d<R+r (possibilidade de contato). A dica é sempre raciocinar em termos de aproximação ou afastamento dos centros;
- Esquecimento do valor absoluto: quando não se sabe qual raio é maior, é indispensável usar ∣R−r∣ para evitar conclusões incorretas;
- Ausência de esboço: deixar de desenhar a situação pode dificultar a compreensão; um simples esquema costuma esclarecer a posição relativa; e
- Confusão entre casos internos: é comum confundir tangência interna com secantes. É essencial lembrar: tangência = 1 ponto de contato; secante = 2 pontos de interseção.
Questão do vestibular sobre posições relativas entre circunferências
Simulado EEAR 2023
Sobre a posição relativa entre duas circunferências 𝐶₁ e 𝐶₂ dadas a seguir, é correto afirmar que são:
𝐶₁: 𝑥² + 𝑦² – 4𝑥 – 8𝑦 + 19 = 0
𝐶₂: 𝑥² + 𝑦² – 10𝑥 – 4𝑦 + 25 = 0
A) Externas
B) Secantes
C) Tangentes
D) Concêntricas
Resposta:
Reescrevendo as equações das circunferências:
𝐶₁: 𝑥² + 𝑦² – 4𝑥 – 8𝑦 + 19 = 0
𝐶₁: (𝑥 – 2)² + (𝑦 – 4)² = 1²
𝐶₂: 𝑥² + 𝑦² – 10𝑥 – 4𝑦 + 25 = 0
𝐶₂: (𝑥 – 5)² + (𝑦 – 2)² = 2²
Note que:
C1(2, 4) e r1= 1
C2(5, 2) e r2 = 2
Para determinar a posição relativa entre as circunferências:
Logo, como 𝑑 > 𝑟₁ + 𝑟₂ então as circunferências são externas.
Alternativa correta:
A
Prepare-se para o vestibular com o Estratégia!
Nos cursos preparatórios da Coruja, os alunos são treinados para conectar diferentes áreas do conhecimento e aplicar essas informações em simulados e provas.
As aulas são ministradas por professores especialistas, com nossos Livros Digitais Interativos (LDI), além de contar com simulados exclusivos. Clique no banner e comece seus estudos com o Estratégia Vestibulares!
