Um dos tópicos mais cobrados que relaciona Geometria Pura e Analítica, que aparece com frequência no Enem e outros vestibulares, é o estudo das posições relativas entre reta e circunferência.
Esse conteúdo aborda cálculos de geometria analítica com a combinação da equação da reto juntamente com equação que descreve a circunferência. Veja mais sobre esse assunto no artigo do EV a seguir:
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Elementos Principais
A posição que uma reta ocupa em relação a uma circunferência tem diferentes classificações, cada uma com suas propriedades e características. Para compreendê-las veja os principais elementos que compõem essas figuras geométricas.
Primeiramente a circunferência, ela é um dos conceitos fundamentais da Geometria Plana. Para entendê-la, imagine um ponto fixo em um plano, chamado centro (C). A partir desse ponto, considere todos os pontos que estão exatamente a uma mesma distância dele.
O conjunto formado por esses pontos gera uma linha curva fechada chamada de circunferência. A distância constante entre o centro (ponto rosa) e qualquer ponto da circunferência recebe o nome de raio (r).
Outro elemento associado à circunferência é o diâmetro (d). Ele corresponde ao segmento de reta que atravessa o centro e conecta dois pontos opostos da circunferência. Por definição, o comprimento do diâmetro é o dobro do raio (d=2r).
Ainda sobre a circunferência temos a corda, segmento de reta que une dois pontos distintos da circunferência, podendo ter diferentes comprimentos — sendo o diâmetro a maior corda possível.
A reta pode ser compreendida como uma linha infinita, sem curvas, que se prolonga indefinidamente em ambas as direções. No plano cartesiano, ela é descrita por uma equação, geralmente em sua forma geral: ax+by+c=0, em que a, b e c são números reais. Essa representação expressa a ideia de que a reta é formada por uma sucessão infinita de pontos alinhados, que seguem sempre a mesma direção.
Imagine-se no centro de uma rotatória e precisando chegar o mais rápido possível a uma calçada reta que passa ao lado. O caminho mais curto será sempre em linha reta, formando um ângulo de 90° com a calçada.
De maneira análoga, ao analisar uma reta e uma circunferência, a distância d entre o centro da circunferência e a reta é essencial para compreender a posição relativa entre as figuras.
Essa distância corresponde ao menor caminho possível entre o ponto C e qualquer ponto da reta, ou seja, ao comprimento do segmento perpendicular que liga o centro da circunferência à reta.
Para encontrar o valor de d, utilizamos uma fórmula específica da geometria analítica para calcular a distância entre um ponto e uma reta. Dado um ponto (centro da circunferência neste caso) com coordenadas C(x0,y0) e uma reta na forma ax+by+c=0. Temos que:
O numerador representa o valor absoluto do resultado obtido ao substituir as coordenadas do centro (x0,y0) na equação da reta, garantindo que a distância seja sempre positiva. Já o denominador corresponde à raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes a e b da reta.
Retas e número de intersecções
Reta secante
Imagine uma pizza perfeitamente redonda sobre uma mesa. Se você pegar uma faca e fizer um corte reto que atravesse a pizza, a linha do seu corte representa uma reta secante. Ela entra por um lado e sai pelo outro. É exatamente essa a ideia geométrica.
Uma reta é classificada como secante a uma circunferência quando sua trajetória a leva a cruzar o interior da circunferência. Essa “invasão” do espaço interno da circunferência resulta na existência de dois pontos distintos que pertencem tanto à reta quanto à circunferência.
Esses dois pontos (interseção), vamos chamá-los de P1 e P2, definem um segmento de reta muito importante: a corda. Toda reta secante, ao cruzar uma circunferência, gera uma corda interna a ela.
Se a menor distância da reta ao centro (d) é menor que a distância da fronteira ao centro (r), isso significa que a reta obrigatoriamente passou por dentro da área delimitada pela circunferência. Se ela entrar na área, ela terá que sair, e é nesse trajeto de entrada e saída que os dois pontos de interseção são criados.
Reta Tangente
A reta tangente é um caso especial da relação entre uma reta e uma circunferência. Ela acontece quando a reta toca a circunferência em um único ponto, chamado ponto de tangência.
Para a reta ser tangente, é preciso que a distância entre o centro da circunferência e a reta seja exatamente igual à do raio. Essa condição garante que a reta não corte e nem fique afastada, mas apenas toque a curva.
A propriedade fundamental da tangente diz que: o raio que liga o centro da circunferência ao ponto de tangência é sempre perpendicular (forma um ângulo de 90°) à reta tangente.
Essa relação é extremamente útil em problemas de geometria, pois permite aplicar conceitos de ângulos, ortogonalidade, triângulos e até equações da reta no plano cartesiano.
Reta externa
Uma reta é classificada como exterior (ou externa) a uma circunferência quando elas não possuem nenhum ponto em comum, ou seja, elas nunca se tocam. A reta e a circunferência são figuras completamente disjuntas no plano; não há um único ponto que satisfaça a equação da reta e a equação da circunferência simultaneamente.
Se a menor distância que a reta atinge em relação ao centro (d) já é maior do que a distância necessária para tocar a borda da circunferência (r), então é impossível que qualquer ponto da reta toque ou cruze a circunferência. O ponto de maior aproximação da reta já está longe demais, e todos os outros pontos da reta estarão ainda mais distantes.
Visão geral
Questões sobre posição relativa entre circunferência e reta
Simulado USP – FUVEST (2021)
Duas circunferências 𝜆₁ e 𝜆₂ com raios 2 e 4 têm centros no primeiro quadrante do plano cartesiano. Elas tangenciam Ox e Oy. Sabendo que as circunferências são secantes nos pontos (𝑥₁,𝑦₁) e (𝑥₂,𝑦₂). O valor de (𝑥₁+𝑦₁)²+(𝑥₂+𝑦₂)² é
A) 16
B) 9
C) 18
D) 12
E) 24
Resposta
Alternativa correta: C
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