Olá, pessoal… Tudo bem? Sou a prof. Marçal, do Estratégia Vestibulares, e escrevo este artigo para lançar o Gabarito UNICAMP 2020, da disciplina de Matemática. Nesta página, você vai conferir a resolução comentada completa. Vamos nessa??
Prova UNICAMP 2020
Questão 80
“(…) as palavras tomam significados distintos daqueles utilizados no cotidiano. Por exemplo, utiliza-se, com frequência, nas aulas sobre frações, a frase reduzir ao mesmo denominador.”
(Edi Jussara Cândido Lorensatti, Linguagem matemática e Língua Portuguesa: diálogo
necessário na resolução de problemas matemáticos. Conjectura: Filosofia e Educação
Caxias do Sul, v. 14, n. 2, p. 91, maio/ago. 2009.)
Cada ciência usa uma linguagem própria e com um grau de precisão terminológica necessário para o seu exercício. Tendo em vista os significados distintos que as palavras assumem nas situações concretas em que são empregadas, o verbo “reduzir”, no uso cotidiano, significa
a) limitar alguma coisa, ao passo que na linguagem matemática é sinônimo de restringir.
b) moderar alguma coisa, ao passo que na linguagem matemática implica aumentar as relações entre os números.
c) eliminar alguma coisa, ao passo que na linguagem matemática implica reverter as relações entre os números.
d) diminuir alguma coisa, ao passo que na linguagem matemática é sinônimo de converter.
Resolução Comentada
No cotidiano, reduzir significa diminuir. No contexto matemático das frações, pode ser entendido com reescrever uma fração, ou seja, convertê-la em outro formato.
Gabarito: d)
Questão 32
Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos, e cada filho tem um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O número total de filhos e filhas dessa família é igual a
a) 11.
b) 9.
c) 7.
d) 5.
Resolução Comentada
Para uma filha, podemos dizer que o número de irmãs, sendo o número de filhas, é dado por , pois uma filha não é considerada irmã de si mesma. Já o número de irmãos de uma filha, sendo O o número de filhos, é dado por O mesmo.
Já para um filho, o número de irmãos é igual a pelo mesmo motivo citado anteriormente. O número de irmãs de um filho é igual a .
Dessa forma, pelo enunciado, podemos montar o seguinte sistema de equações:
De posse do número de filhos O e de filhas A, a soma é dada por:
Gabarito: C
Questão 33
Cinco pessoas devem ficar em pé, uma ao lado da outra, para tirar uma fotografia, sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado. O número de posições distintas para as cinco pessoas serem fotografadas juntas é igual a
a) 48.
b) 72.
c) 96.
d) 120.
Resolução Comentada
Se não houvesse restrição, o número de maneiras de colocarmos cinco pessoas em linha é dado por:
Considerando as duas pessoas “enguiçadas” como uma só (modo proibido), temos:
Dessa maneira, o número de modos permitidos para enfileirarmos essas pessoas, de modo que as duas que se recusam a ficar lado a lado não sejam contrariadas, é dado pela diferença:
Gabarito: B
Questão 34
Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de 2/3, independentemente do resultado das outras provas.
Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o atleta vencer o torneio é igual a
a) 2/3.
b) 4/9.
c) 20/27.
d) 16/81.
Resolução Comentada
Considerando V a situação em que o atleta vence e P a situação em que o atleta perde uma prova, temos que, para vender o torneio, deverá ocorrer uma das seguintes situações:
Como as situações agrupadas são alternativas, ou seja, deve ocorrer uma OU outra, a probabilidade é dada pela soma:
Gabarito: C
Questão 35
Sabendo que é um número real, considere a função , definida para todo número real . Se , então:
a)
b)
c)
d)
Resolução Comentada
Como a questão pediu uma função composta envolvendo , vamos adiantar nosso trabalho e calcular .
Se posse de , vamos substitui-la na equação dada no enunciado.
Gabarito: A
Questão 36
Sabendo que é um número real, considere a equação quadrática . Se as soluções dessa equação são números inteiros, o módulo da soma das soluções é igual a
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
Resolução Comentada
Dada a equação
Temos, pelas relações de Girard:
Para que o produto de dois números inteiros, x” e x”,seja igual a 5, temos apenas duas opções:
De todo modo, temos:
Gabarito: D
Questão 37
Considere que (a, b, 3, c) é uma progressão aritmética de números reais, e que a soma de seus elementos é igual a 8. O produto dos elementos dessa progressão é igual a
a) 30.
b) 10.
c) -15.
d) -20.
Resolução Comentada
Para reduzir o número de incógnitas, vamos reescrever a progressão com base na razão r.
O enunciado informou que a soma dos elementos da progressão é igual a 8, então, vamos escrever e resolver essa equação.
De posse da razão, podemos estabelecer quais são os elementos da progressão:
Como nossa questão pede o produto dos elementos, temos:
Gabarito: C
Questão 38
Tendo em vista que e são números reais positivos, , considere a função , definida para todo número real . Logo, é igual a:
a)
b)
c)
d)
Resolução Comentada
O exercício não dá uma direção específica no enunciado, então, é interessante olhar para as alternativas para entender qual é o tipo de resposta esperada.
Ao perceber que todas apresentam para ; vamos começar por calcular esses valores.
Perceba que pode ser reescrito em função de .
Muito bem, falta o termo b. Podemos reescrever a equação acima como:
Como a questão pede a expressão equivalente a , temos:
Gabarito: A
Questão 39
Sabendo que é um número real, considere a matriz
e sua transposta . Se singular (não invertível), então:
a)
b)
c)
d)
Resolução Comentada
O enunciado nos informa que é singular. Então, vamos calcular .
Como é singular, temos que seu determinante é nulo.
Gabarito: B
Questão 40
A figura abaixo exibe o triângulo , em que e é uma altura de comprimento . A área do triângulo é igual a
a)
b)
c)
d)
Resolução Comentada
Percebendo que o triângulo é um retângulo em , temos:
Bem, a área do triângulo pode ser escrita em função do lado e da altura :
Gabarito: A
Questão 41
A figura abaixo exibe o triângulo retângulo , em que . Então, é igual a
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
Resolução Comentada
Como e o triângulo é retângulo em , temos que . Dessa forma, .
O triângulo é retângulo em e, pelo enunciado, .
Dessa forma, podemos dizer que:
Gabarito: B
Questão 42
Seja a função polinomial do terceiro grau , definida para todo número real . A figura abaixo exibe o gráfico de , no plano cartesiano, em que os pontos, A, B, e C têm a mesma ordenada. A distância entre os pontos A e C é igual a:
a) 2
b)
c) 3
d)
Resolução Comentada
Como todos os pontos representam mesma ordenada, vamos calcular o valor dessa ordenada por meio da ordenada de B, uma vez que ele está no eixo vertical e, portanto, sabemos que sua abcissa é nula .
Ordenada de B
Além disso, sabemos que as ordenadas de A e de C são dadas por , ou seja:
Como o produto é nulo, temos duas possibilidades:
ou
Gabarito: C
Questão 43
Sabendo que c é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação . Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação , então seu raio é igual a:
a)
b)
c) 2
d) 3
Resolução Comentada
Para deixarmos a cônica mais explícita, vamos completar quadrados e reescrevê-la de modo mais evidente.
Como o centro deve estar de acordo com a equação da reta fornecida, podemos colocar as coordenadas na equação da reta .
Gabarito: D
Questão 44
Se um tetraedro regular e um cubo têm áreas de superfície iguais, a razão entre o comprimento das arestas do tetraedro e o comprimento das arestas do cubo é igual a
a)
b)
c)
d)
Resolução Comentada
Lembrando que a área do tetraedro é dada por quatro vezes a área do triângulo equilátero de aresta , temos:
Seguindo a orientação de igualar as áreas, temos:
Gabarito: C
É isso, pessoal! Espero que tenham curtido a resolução da prova de Matemática da prova do Vestibular UNICAMP 2020. Sigam-me nas redes sociais. Têm muitas dicas lá. Mande uma mensagem, caso tenha tido alguma dúvida. Abraços!
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