Na geometria existem diversos teoremas que funcionam como ferramenta básica na resolução de problemas, contudo, alguns deles, como o Teorema de Ptolomeu, servem para solucionar problemas um pouco mais complexos. Ele estabelece uma relação elegante entre os quatro lados e as duas diagonais de quadriláteros cíclicos. Entenda mais sobre o assunto no artigo do EV a seguir.
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O que é um quadrilátero cíclico
Para melhor compreender o teorema, é necessário saber que ele é aplicado a quadriláteros cíclicos (ou inscritíveis). De modo geral, um quadrilátero é dito cíclico quando seus quatro vértices pertencem, ao mesmo tempo, a uma única circunferência. Em outras palavras, é possível traçar uma circunferência que passe por todos os quatro pontos que definem o quadrilátero.
Uma propriedade fundamental dos quadriláteros inscritíveis é a relação entre seus ângulos internos opostos. Em todo quadrilátero cíclico, a soma dos ângulos internos opostos é igual a 180°, ou seja, são suplementares.
Seja ABCD um quadrilátero cíclico:
Temos que:
Essa propriedade é uma consequência direta do Teorema do Ângulo Inscrito, que afirma que um ângulo inscrito em uma circunferência mede metade do arco que ele intercepta. Assim, o ângulo ∠A intercepta o arco BCD, enquanto o ângulo ∠C intercepta o arco complementar DAB.
Como esses dois arcos juntos formam a circunferência completa — ou seja, correspondem a 360° — a soma das medidas dos ângulos ∠A e ∠C será metade desse valor, que é 180°.
Temos ainda que a recíproca também é válida, se um quadrilátero convexo – polígono que possui todos os ângulos internos menores que 180° – possui ângulos opostos que somam 180°, então ele é um quadrilátero cíclico.
Exemplos Notáveis:
- Quadrado: todos os ângulos internos medem 90°. Como 90° + 90° = 180°, todo quadrado é cíclico;
- Retângulo: similar ao quadrado, todos os ângulos internos medem 90°. A soma dos opostos é 180°, logo, todo retângulo é cíclico;
- Trapézio Isósceles: os ângulos de uma mesma base são congruentes, e os ângulos adjacentes a um lado não paralelo são suplementares. Se os ângulos da base maior são A e B, e os da menor são C e D, temos A=B e C=D. Como A+D = 180° e C=D, logo, A+C = 180°. Portanto, todo trapézio isósceles é cíclico.
O Teorema de Ptolomeu
Com a definição de quadrilátero cíclico estabelecida, podemos enunciar o teorema:
“Para um quadrilátero cíclico ABCD, o produto das medidas de suas diagonais é igual à soma dos produtos das medidas dos lados opostos.”
Definido um quadrilátero cíclico ABCD, com lados AB, BC, CD e DA e diagonais AC e BD, temos que:
A equação mostra a relação direta entre os segmentos que formam um quadrilátero cíclico (os quatro lados e as duas diagonais).
A recíproca do teorema
Assim como a propriedade dos ângulos opostos em quadriláteros cíclicos, o Teorema de Ptolomeu possui uma recíproca muito útil — conhecida como a Desigualdade de Ptolomeu. Essa desigualdade torna-se uma igualdade exata quando o quadrilátero é cíclico.
De forma direta, a recíproca diz o seguinte:
“Se em um quadrilátero convexo ABCD, o produto das medidas de suas diagonais for igual à soma dos produtos das medidas dos lados opostos, ou seja, AC * BD = (AB * CD) + (BC * DA), então o quadrilátero ABCD é cíclico.”
Essa recíproca é especialmente útil em problemas de geometria avançada, vestibulares e olimpíadas, pois permite identificar a presença de uma circunferência circunscrita sem precisar desenhá-la ou medir ângulos
Demonstração do Teorema de Ptolomeu
Existem várias demonstrações para o Teorema de Ptolomeu (usando números complexos, inversão geométrica, etc.), mas a demonstração clássica utiliza apenas Geometria Euclidiana e semelhança de triângulos. Veja os passos:
Dado um quadrilátero cíclico ABCD.
Construção auxiliar: Traçamos a diagonal AC. Construímos um ponto E sobre o segmento AC tal que ele satisfaça a condição ∠CBE = ∠ABD.
Primeira Semelhança de Triângulos Vamos analisar o triângulo ABD e o triângulo EBC.
- ∠ABD = ∠EBC (por construção).
- ∠ADB =∠ECB (são ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco AB na circunferência).
Como possuem dois ângulos congruentes (caso Ângulo-Ângulo), os triângulos são semelhantes:
Da semelhança, podemos montar a proporção entre os lados homólogos:
Multiplicando em cruz, obtemos nossa primeira relação:
Novamente, pelo caso Ângulo-Ângulo, os triângulos são semelhantes:
Montando a proporção:
Multiplicando em cruz, obtemos nossa segunda relação:
A Soma Algébrica: Agora, somamos as duas equações que encontramos: (Equação 1) + (Equação 2):
Colocamos BD em evidência:
Observe a construção: o ponto E está sobre o segmento AC. Portanto, a soma EC + AE é exatamente o comprimento da diagonal AC.
Substituindo na equação:
Rearranjando os termos para o formato padrão, chegamos ao Teorema de Ptolomeu:
A aplicação do teorema
Para conseguir fazer a aplicação do Teorema de Ptolomeu, é preciso identificar certos cenários específicos. Como por exemplo:
- Identificação do Quadrilátero Cíclico: o problema deve afirmar que o quadrilátero é cíclico, ou fornecer informações que permitam concluir isso (ângulos opostos somam 180°, ou é um retângulo, quadrado, trapézio isósceles);
- Problema de Medida Desconhecida: o uso mais comum é quando o problema fornece 5 das 6 medidas (lados e diagonais) e pede a sexta; e
- Problema de Prova (Recíproca): o problema fornece todas as 6 medidas e pede para provar que o quadrilátero é cíclico.
Com o teorema de Ptolomeu é possível também resolver problemas diretos ou inversos (determinando uma diagonal a partir dos lados, ou um lado a partir das diagonais), além de verificar se um quadrilátero é cíclico por meio de sua recíproca.
Além disso, o teorema pode ser combinado com outros resultados, como a Lei dos Cossenos e propriedades de triângulos ou quadriláteros especiais, tornando-se uma estratégia versátil em questões mais elaboradas de vestibulares.
Caso especial
Um retângulo é um quadrilátero cíclico. Seja um retângulo de lados a e b (AB = CD = a e BC = DA = b) e diagonal d (AC = BD = d). Aplicando o teorema de Ptolomeu, temos que:
Ou seja, o Teorema de Ptolomeu, quando aplicado a um retângulo, reduz-se exatamente ao Teorema de Pitágoras.
Questão sobre Teorema de Ptolomeu
Universidade Regional do Cariri (2009)
Sabe-se que a circunferência de equação x²+ y² −4x−6y+11=0 está inscrita no quadrado ABCD . Calcule a medida da diagonal desse quadrado
A) 1 u. c.
B) 2 u. c.
C) 3 u. c.
D) 4 u. c.
E) 5 u. c.
Resposta
Começamos encontrando o raio (r) da circunferência a partir de sua equação:
Agrupe os termos em x e y:
Alternativa correta: D
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