Teorema de Taylor: o que diz e como é cobrado em prova?

$\dpi{150} \LARGE f(x)=\textstyle\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}$

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O que é o Teorema de Taylor?

O valor de uma função qualquer perto de um ponto $\dpi{150} \large x_{0}$ pode ser aproximado por meio de um polinômio construído com base nos valores da derivada dessa função no ponto analisado.

Esse polinômio é chamado de polinômio de Taylor, ou série de Taylor, quando analisado com infinitos índices.

A vantagem de se utilizar essa série para analisar certas funções é que os polinômios são funções simples de serem analisadas, em comparação com as demais funções, já que sabe-se que polinômios são funções contínuas no conjunto dos reais, e seu comportamento é fácil de se prever, conhecendo-se os coeficientes dominantes.

Isso facilita o estudo das funções que não podem ser descritas de maneira tão trivial, como funções trigonométricas e funções exponenciais, por exemplo.

Aplicação do teorema de Taylor

amos aplicar a fórmula de Taylor para encontrar a série da função $\dpi{150} \large f(x)=e^{x}$ , próxima do ponto $\dpi{150} \large x_{0}=0$ . Lembrando: a principal propriedade da função em questão é o fato de que ela é sua própria derivada, ou seja, $\dpi{150} \large f'(x)=e^{x}=f(x)$ .

Aplicando essa propriedade repetidamente, concluímos que $\dpi{120} \large f^{(n)}(x)=e^{x}$ , para todos os valores de n. Desse modo, o termo $\dpi{150} \large f^{(n)}(x_{0})$ é o mesmo para todos os termos da série, e vale $\dpi{150} \large e^{0}=1$ .

Assim, temos que $\dpi{120} \large e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...=\textstyle\sum_{i=0}^n\frac{x^{n}}{n!}$ .

Vamos analisar agora a série de Taylor para a função f(x) = sen (x), também próxima do ponto $\dpi{150} \large x_{0} = 0$ .

Sendo f(x) = sen (x), temos que $\dpi{120} \large f(x_{0}) = 0$ . $\dpi{120} \large f'(x)=cos(x)$ , e $\dpi{120} \large f'(x_{0})=1$ . Derivando novamente, $\dpi{120} \large f''(x)=-sen(x)$ , e $\dpi{120} \large f''(x_{0})=0$ . $\dpi{120} \large f'''(x)=-cos(x)$ , e $\dpi{120} \large f'''(x_{0})=-1$ . Realizando esse processo sucessivamente, notamos que os valores das derivadas no ponto $\dpi{120} \large x_{0}=0$ se repetem no seguinte padrão: 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1,… Desse modo, aplicando esses valores na fórmula de Taylor, vemos que:

$\dpi{120} \large en (x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}...=\textstyle\sum_{i=0}^\infty(-1)^{i}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}$

Utilidades das séries de Taylor

A fórmula de Taylor fornece o valor da função, mas para isso deve-se utilizar um número infinito de termos. Contudo, em certas condições, podemos usar uma quantidade menor de termos para fazer aproximações utilizando as séries de Taylor das funções.

A seguir, estão alguns exemplos que aparecem na física, e utilizam aproximações envolvendo as séries descritas acima:

Dilatação linear

Suponha um material com coeficiente de dilatação $\dpi{120} \large \alpha$ . Esse material recebe uma pequena quantidade de calor, que gera uma variação de temperatura $\dpi{120} \large dT$ , e uma pequena dilatação, $\dpi{120} \large dL$ . Sabemos que a dilatação é proporcional ao comprimento, ao coeficiente de dilatação e à variação de temperatura.

Sendo assim:

$\dpi{120} \large dL=L\alpha dT\rightarrow \frac{dL}{L}=\alpha dT$

Para encontrar o comprimento final do material, devemos integrar ambos os lados da equação (sabendo que $\dpi{120} \large \int_{x_{0}}^{x_{f}}\frac{dx}{x}=ln(\frac{x_{f}}{x_{0}})$ ):

$\dpi{120} \large \int_{L_{0}}^{L}\frac{dL}{L}=\alpha \int dT\rightarrow ln(\frac{L}{L_{0}})=\alpha \Delta T\rightarrow L=L_{0}e^{\alpha \Delta T}$

Contudo, sabemos das propriedades dos materiais, que os valores dos coeficientes de dilatação são normalmente pequenos. Analisando a série de Taylor para a função $\dpi{120} \large e^{x}$ , vemos que ela apresenta potências crescentes de x. Assim, para números pequenos, as potências maiores podem ser desprezadas.

Desse modo, podemos assumir como uma aproximação válida para $\dpi{120} \large e^{x}$ , $\dpi{120} \large e^{x}\approx 1+x$ . Como no caso analisado os valores de $\dpi{120} \large \alpha \Delta T$ são pequenos (da ordem de $\dpi{120} \large 10^{-4}$ ), podemos usar essa aproximação, e obtemos a fórmula mais utilizada para dilatação:

$\dpi{120} \large L \approx L_{0}(1+\alpha \Delta T)$

Difração e refração da luz

Em alguns estudos sobre difração e refração, estudam-se ângulos muito pequenos. Nesse tipo de situação, algumas aproximações para as funções trigonométricas dos ângulos podem ser utilizadas para facilitar o estudo.

Com relação ao seno de ângulos pequenos, se seguirmos o mesmo raciocínio que utilizamos para e^x, podemos concluir que a partir de um certo ponto, as potências maiores da série podem ser desprezadas.

Normalmente, adota-se a aproximação $\dpi{120} \large sen(x)\approx x$ para ângulos menores que 10° (ou 0,17 radianos), e essa aproximação é baseada na série de Taylor para essa função.

Curiosidades sobre Taylor

O matemático responsável por enunciar e desenvolver esse teorema foi Brook Taylor, matemático britânico que foi membro da Royal Society e publicou desde trabalhos em áreas mais teóricas e puramente matemáticas, como esse teorema analisado, como também áreas mais voltadas à física e a astronomia.

Teorema de Taylor matemático responsável Teorema — Figura 1: Brook Taylor

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