As funções trigonométricas surgem a partir do estudo dos ângulos, que são medidos em graus para a geometria e são quantificadas em radianos na álgebra, que é uma relação matemática para realizar cálculos em trigonometria.
Para além de uma simples operação do vestibular, as funções trigonométricas são importantes para entender o comportamento de ondas, as possibilidades máximas e mínimas de uma grandeza, entre outras informações que podem ser acessadas com essa ferramenta.
Com o objetivo de apresentar e explicar o tema, o Estratégia Vestibulares preparou este artigo. Nele você encontrará um resumo com as principais propriedades das funções seno, cosseno e tangente, como domínio, imagem e gráficos. Além disso, poderá acompanhar uma resolução de exercícios sobre o tema. Acompanhe agora!
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O que são funções trigonométricas?
As funções trigonométricas são aquelas que admitem ângulos como parte do cálculo. Na álgebra, geralmente, esses ângulos estão convertidos na unidade dos radianos, que são obtidos a partir de um círculo padrão, como você pode observar na imagem abaixo:
Perceba que existe uma correspondência entre os ângulos do círculo com os radianos. Então, você manter em mente que 180º = ? radianos. A partir dessa correspondência, qualquer ângulo pode ser convertido em radianos, se utilizada a regra de três.
180 º ——– ? radianos
60º –——- x
x.180=60.?
x.3=?
x=?/3, ou seja, 60º=?/3 radianos
A partir de agora, observe cada uma das linhas, horizontal e vertical, que compõem o círculo trigonométrico. Entende-se que seu raio =1 e, a partir disso:
- O seno é representado pelo tamanho do lado vertical de um triângulo retângulo cujo ângulo esteja marcado no círculo;
- O cosseno é o lado horizontal do triângulo retângulo do ângulo em questão; e
- A tangente do ângulo é dada pela projeção da reta que marca o ângulo em 90º com o diâmetro horizontal.
Podemos observar que, por padrão, o valor das retas no círculo trigonométrico varia de -1 a 1. De forma que se assemelha a colocar a reta real com origem no centro do círculo e seguir a contagem a partir disso. Por essa razão, existem ângulos com seno negativo ou positivo, o que também acontece nas funções cosseno e tangente.
Alguns valores de seno, cosseno e tangente aparecem com muita frequência nos vestibulares, por isso, foram criadas algumas regras que facilitam decorá-los.
Primeiramente, é necessário desenhar uma tabela de lado 4×4, como a que é mostrada a seguir. Depois, vamos completar todos os numeradores, de cima para baixo, da esquerda para a direita nas duas primeiras colunas com a sequência 1,2,3,3,2,1.
| 1 | 3 | ||
| 2 | 2 | ||
| 3 | 1 |
Após isso, adicionamos 2 como denominador em todos esse números. E, agora, colocamos também raízes em todos numeradores de valor 2 ou 3.
| 1/2 | √3/2 | ||
| √2/2 | √2/2 | ||
| √3/2 | 1/2 |
Por fim, completa-se a última coluna da tabela com a sequência de √3/3, 1, √3.
| 1/2 | √3/2 | √3/3 | |
| √2/2 | √2/2 | 1 | |
| √3/2 | 1/2 | √3 |
Em ordem de cima para baixo temos os ângulos 30º,45º e 60º, descritos com seus senos, cossenos e tangentes nas colunas (da esquerda para direita), veja:
| sen | cos | tg | |
| 30º | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45º | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60º | √3/2 | 1/2 | √3 |
A melhor forma de decorar esse processo é com a paródia de jingle bells:
“um, dois, três, três, dois, um, tudo sobre dois.
A raiz vai no três e também no dois.
A tangente é diferente vejam só vocês:
Raiz de três sobre três, um, raiz de três.”
Funções trigonométricas: seno
Como já foi dito na função seno, é considerado o valor do lado vertical do triângulo retângulo, no círculo trigonométrico. Assim, quando um ângulo de projeta para cima, seu seno é positivo. Entretanto, se ele está marcado na parte de baixo do círculo, seu seno será negativo, como mostra o diagrama abaixo.
A lei de formação dessa função é dada por f(x) = sen(x). A partir disso, podem ser feitas algumas considerações, em termos de quais intervalos reais abrangem os valores de x e de f(x), acompanhe nos próximos tópicos.
Domínio e imagem da função seno
O domínio das funções trigonométricas diz respeito ao intervalo de variação do ângulo x. No caso de f(x) = sen(x), podemos observar que qualquer ângulo possuirá um valor correspondente em radianos. Assim, x pode ser encontrado em todos os conjuntos dos números reais, de maneira que o domínio de sen(x) é tal que f: R → R.
A imagem (Im) da função, por sua vez, marca o intervalo em que ela se encontra no eixo y do ciclo trigonométrico. No caso da função seno, observa-se que ela pode variar de -1 a 1, ou seja, Im sen(x) = [-1;1].
Essas propriedades podem ser observadas a partir do gráfico das funções trigonométricas. Para f(x)=sen(x), teremos a seguinte relação entre ângulo em radianos (eixo x) e seu seno (eixo y):
Funções trigonométricas: cosseno
A função cosseno é dada pela equação f(x) = cos(x). Sua variação no ciclo trigonométrico é regida pelo diâmetro horizontal, quando os valores estão no hemisfério direito, serão positivos. Na porção esquerda, negativos:
Domínio e imagem da função cosseno
Como os ângulos, em cos(x), podem variar dentro do conjunto dos números reais, entende-se que o domínio da função cosseno também é dado por f: R → R. Semelhantemente, no eixo y do círculo trigonométrico, o valor de cos (x) se estende entre 1- e 1, ou seja, Im cos(x) = [-1;1]. Observe no gráfico:
Veja que o cosseno do ângulo 0 radianos é igual a 1, já que ele ocupa todo o raio do ciclo trigonométrico. De maneira análoga, o cosseno de ½ ? (90º) é 0, já que o posicionamento desse ângulo no plano cartesiano do círculo é igual a (0,1).
Funções trigonométricas: tangente
Como nas outras funções trigonométricas, a lei de formação da função tangente é tal que f(x) = tg(x). Apesar de tal semelhança, essa equação possui muitas particularidades, já que é uma razão entre sen(x) / cos(x).
Como, em uma divisão, o denominador não pode ser igual a zero, não existe resposta para f(x) = tg(x) quando o cos(x) = 0. Por essa razão, todos os ângulos que tem 0 como cosseno não são aceitos no domínio de tg(x).
Para garantir essa afirmação, entende-se que, dada um valor inteiro k: Dom(tg) = {x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; k ∈ Z}. Isso indica que toda vez que x = π/2 + kπ, a função tangente não será definida.
Em termos de imagem, ela pode variar infinitamente, já que a reta que a define não está dentro do ciclo trigonométrico e sempre é crescente. Como você pode observar no gráfico abaixo, o valor de tg(x) tende ao infinito:
Questões sobre funções trigonométricas
ENEM 2017
Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo x com a sua superfície, conforme indica a figura.
Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por l(x) = k.sen(x) sendo k uma constante, e supondo-se que x está entre 0º e 90º.
Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo?
a) 33%
b) 50%
c) 57%
d) 70%
e) 86%
Como k é uma constante, o valor máximo de l(x) é encontrado com sen(x) é máximo. Da imagem da função seno, sabemos o maior valor assumido por sen(x) = 1. Portanto:
l (x) máximo = k.1
Quando x = 30º, teremos que sen 30º = ½, então:
l (30º) = k.1/2
Então, entre l(x) máximo e l (30)º teremos uma perda de intensidade luminosa de 50%, como prediz a alternativa B.
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