Tabelas aparecem com frequência no cotidiano: classificação de times do futebol, notas de corte, posição no vestibular, dados demográficos, entre outros dados que podem ser informados por essa ferramenta. Para facilitar a representação matemática desses números distribuídos em linhas e colunas, foram criadas as matrizes.
Uma matriz é uma simplificação de tabelas que possibilita somar, subtrair, multiplicar e dividir as informações, de maneira que fica mais fácil realizar análises e comparações dos valores.
No texto a seguir, você conhecerá a definição de matrizes, entenderá como os elementos são dispostos e nomeados, como fazer operações com elas, além de entender o que é um determinante, com a aplicação prática desses conteúdos em provas de vestibulares. Vamos lá?
Navegue pelo conteúdo
O que são matrizes?
Uma matriz é um tipo de tabela numérica, na qual os valores são distribuídos em linhas e colunas. Para identificar cada elemento (a), adiciona-se a ele o nome da linha (i) e da coluna (j) a que pertencem, assim: aij.
Representação de matrizes
Para definir o número de linhas e colunas em uma matriz, ela é denominada com linhas x colunas (lê-se linhas por colunas). Observe a matriz A abaixo, que possui 3 linhas (m) e 4 colunas (n) — é o que chamamos de matriz 3×4.
Como você determinaria a identidade do elemento 5?
- Primeiro, encontre o valor e relacione em que linha e coluna ele está;
- Sabendo que o número 5 está na segunda coluna e terceira linha, podemos definir seus valores de i e j;
- Como i é a linha, i=3;
- Já que j representa a coluna de localização, j=2;
- A notação de um elemento matricial é tal que aij: 5=a32.
Note também que, na imagem, os elementos estão dispostos entre dois colchetes [ ann ]. Além dessa notação, os valores podem estar dentro de parênteses ou duas barras simples. Veja um exemplo com a matriz genérica m x n representada abaixo:
Aplicação prática de matrizes
A notação de matrizes e seu uso não está restrito ao campo matemático. Na verdade, elas são uma ferramenta muito útil para o estudo de dados econômicos, políticos, demográficos, sanitários, entre outros.
Mas, afinal, como elas são aplicadas nesses contextos? Como as matrizes são as tabelas da matemática, elas são necessárias para dispor e comparar dados. Por exemplo, caso o objetivo seja relacionar o número de meninas que comparecem ao ginecologista durante dois meses, por faixa etária, poderíamos encontrar a tabela fictícia abaixo:
Veja que esses dados fornecem importantes informações sobre o comportamento e a faixa etária das meninas, o que pode ajudar na criação de políticas públicas sobre cuidados femininos e campanhas de conscientização ginecológicas.
Para auxiliar esse processo, os valores podem ser dispostos em uma matriz e ser estudado matematicamente, adicionado em programas de computação ou comparado analiticamente com dados semelhantes de outros hospitais.
Na matriz 2×2 acima, portanto, as linhas demonstram a faixa etária, enquanto as colunas são os meses estudados:
- i=1 diz respeito às meninas entre 12 e 15 anos;
- i=2 admite o grupo de meninas entre 15 e 18 anos;
- j=1 é o mês de maio; e
- j=2 corresponde aos dados do mês de junho.
Tipos de matrizes
Matriz quadrada
Uma matriz quadrada acontece quando m x n é tal que m=n. Isso significa que o número de linhas da tabela é igual ao seu número de colunas.
Para facilitar o reconhecimento desse tipo matricial, admite-se a notação An — matriz A de ordem n.
Por exemplo, a matriz A4 é quadrada de ordem 4, isto é, 4 linhas e 4 colunas, como a representação abaixo:
Matriz identidade
O conceito da matriz identidade diz respeito a uma tabela que, quando multiplicada por outra matriz A, encontra-se um resultado igual a A.
matriz identidade . matriz A = matriz A
Para que isso aconteça, é necessário que a matriz identidade seja quadrada. Além disso, a diagonal que parte do primeiro elemento a11 deve conter somente elementos de valor igual a um. Tudo que não estiver nessa diagonal deve ser igual a zero.
Note que essa diagonal é formada por elementos em que i=j, isso permite encontrar a lei de formação de uma matriz identidade:
Se i=j, elemento igual a 1
Se i≠j, o elemento será igual a 0
Saiba, também, que a diagonal citada para a determinação de uma matriz identidade é conhecida como diagonal principal matricial.
Matriz nula
Acontece quando todos os elementos são iguais a zero. Na matriz nula 4×3, teremos algo como:
Matriz linha
Uma matriz linha, como prediz o nome, possui apenas uma linha e mais de uma coluna, ou seja, 1 x n.
A = [ 1 3 5 8 3 6 ]
Matriz coluna
De modo semelhante, a matriz coluna será dada por m x 1, com apenas uma coluna e mais de uma linha.
Matriz inversa
Para determinar a matriz inversa, é necessário que dada uma matriz A (m x n), sua inversa A-1 seja tal que o resultado da multiplicação entre A e A-1 é igual a uma matriz identidade.
A.A-1=In
Matriz oposta
Acontece quando todos os elementos tem seus sinais invertidos. De forma que, para encontrar a matriz oposta de A, basta multiplicar cada aij por -1. Veja o exemplo na matriz linha adiante:
A = [1 -2 5 7 8 15 -30 -4]
– A = [-1 2 -5 -7 -8 -15 30 4]
Matriz transposta
Acontece quando os elementos são transportados por meio da troca entre o local de linha (i) e o posicionamento colunar (j). Ou seja, se, em A, ele estava na posição a23 em At ele estará em a32.
Operações com matrizes
Soma de matrizes
A soma entre duas matrizes é dada pela soma simples entre os elementos de posição análoga em cada uma delas. Por isso, é importante que as matrizes somadas estejam na mesma proporção m x n.
Subtração de matrizes
De maneira semelhante ao que acontece na soma, a subtração de matrizes requer a diminuição entre cada elemento semelhante, o que fornece a matriz de resultado, como mostra a figura abaixo:
Multiplicação de matrizes por um número real
Multiplicar uma matriz por um número real N é o mesmo que multiplicar cada um dos elementos que a compõem por N, como você acompanhar nos cálculos a seguir.
Multiplicação de duas matrizes
A multiplicação de duas matrizes, entretanto, não é tão simples. Primeiramente, é preciso que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. Ou seja:
A l x m e Bm x n = Cl x n
Agora, para realizar a multiplicação você deve multiplicar a linha de uma matriz pela coluna da outra.
Mas como desenvolver os cálculos?
Multiplique o primeiro elemento da linha pelo primeiro elemento da coluna, depois o segundo elemento da linha vezes o segundo da coluna, e assim sucessivamente. A linha multiplicada será o “i” do novo elemento, e a coluna em questão será o “j”. Observe o diagrama:
Veja como a multiplicação entre a linha A1 e a coluna B2 resultaram no elemento c12. O mesmo acontece da interação da linha A3 com a coluna B3, teremos o elemento c33. Abaixo, você encontra um exemplo prático dessa operação matricial:
Determinantes de matrizes
Determinantes são números reais que representam matrizes quadradas. Veja algumas regras sobre eles:
- Em uma matriz quadrada de ordem 1 (A1) teremos um determinante igual ao elemento principal da matriz
A = [5] → det A = 5; - Nas matrizes de ordem 2, o determinante é dado pela subtração diagonal principal – diagonal secundária;
- Nas matrizes de ordem 3, o determinante é encontrado por meio da Regra de Sarrus. Essa regra começa com a cópia das duas primeiras colunas.
Depois multiplicam-se e somam-se os valores em todas as diagonais no mesmo sentido da diagonal principal. E, por fim, faz-se a mesma coisa no sentido da diagonal secundária, como mostram a imagem:
Questões sobre matrizes
Uma construtora, pretendendo investir na construção de imóveis em uma metrópole com cinco grandes regiões, fez uma pesquisa sobre a quantidade de famílias que mudaram de uma região para outra, de modo a determinar qual região foi o destino do maior fluxo de famílias, sem levar em consideração o número de famílias que deixaram a região.
Os valores da pesquisa estão dispostos em uma matriz A = [aij], i, j ∈ {1,2,3,4,5}, em que o elemento aij corresponde ao total de famílias (em dezena) que se mudaram da região i para a região j durante um certo período, e o elemento a é considerado nulo, uma vez que somente são consideradas mudanças entre regiões distintas. A seguir, é apresentada a matriz com os dados da pesquisa.
Qual região foi selecionada para o investimento da construtora?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Veja mais de matemática com o Estratégia Vestibulares!
Nos cursos voltados para o Enem do Estratégia, você encontrará aulas voltadas para os conteúdos que aparecem nas provas, por áreas do conhecimento. Além disso, oferecemos programas de mentorias e orientações específicas para as suas necessidades. Junte-se à Coruja e fique cada vez mais próximo da sua aprovação!
Veja também:
- Moda, média, mediana: o que é e como cai no vestibular?
- Matemática para Vunesp – Funções Matemáticas
- Regra de três simples e composta: veja como calcular
- Análise Combinatória no Enem: como cai
- Como calcular porcentagem?
- Binômio de Newton: o que é, como calcular e usos
- Probabilidade no Enem: conceitos e mais
- Prova de matemática Fuvest 2020 com Resolução Comentada
- Resolução da prova de Matemática da 2ª Fase da Unicamp 2020
- Prova de Matemática UNESP 2020 com Resolução Comentada
