A Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que existe uma relação multiplicativa constante entre termos consecutivos. Assim, cada elemento é obtido multiplicando o termo anterior por um mesmo número chamado razão da PG.
Elas aparecem com frequência em problemas porque permitem representar situações em que uma grandeza cresce ou diminui proporcionalmente ao seu próprio valor, como juros compostos, crescimento populacional, entre outros.
Neste texto, você vai entender o conceito e a classificação das PGs, a construção do termo geral, propriedades importantes e aplicações. Acompanhe abaixo.
Navegue pelo conteúdo
Conceito e razão da Progressão Geométrica
Uma Progressão Geométrica é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante não nula, denominada razão, representada por q.
Assim, se temos
a razão pode ser determinada pelo quociente entre dois termos consecutivos:
Por exemplo, em (2, 6, 18, 54, …), temos:
As PGs podem ser classificadas de acordo com o comportamento de seus termos. Quando os termos aumentam, temos uma PG crescente, como ocorre quando a1>0 e q>1, ou quando a1<0 e 0<q<1.
Quando os termos diminuem, temos uma PG decrescente, como nos casos a1>0 e 0<q<1, ou a1<0 e q>1. Se q=1, todos os termos permanecem iguais e a PG é constante.
Quando q<0, os sinais dos termos se alternam, caracterizando uma PG oscilante ou alternante. Já quando q=0, ou quando a1=0, os termos se anulam a partir do segundo, situação chamada de estacionária.
A diferença fundamental para a Progressão Aritmética (PA) está justamente na forma de construção: na PA, adicionamos uma constante ao termo anterior; na PG, multiplicamos o termo anterior por uma constante q.
Equação do termo geral de Progressão Geométrica
A fórmula do termo geral pode ser construída observando a formação dos primeiros termos. Sabemos que:
O terceiro termo será:
Continuando o mesmo raciocínio:
Portanto, percebemos um padrão: o expoente da razão é sempre uma unidade menor que a posição ocupada pelo termo. Assim, chegamos à fórmula:
Essa relação permite encontrar diretamente qualquer termo de uma PG conhecendo o primeiro termo, a razão e sua posição.Também podemos relacionar dois termos quaisquer da sequência:
Essa forma é especialmente útil quando o primeiro termo não é conhecido.
Identificação do primeiro termo e da enésima posição
Na fórmula
cada elemento possui uma função específica. an representa o termo que ocupa a posição n; a1 é o primeiro termo da sequência; n representa a posição do termo, com n∈ ℕ* e q é a razão da PG.
Um detalhe importante é compreender por que o expoente é n-1, e não n. O primeiro termo não precisa ser multiplicado pela razão nenhuma vez, pois ele já representa a posição inicial da sequência.
Para chegar ao segundo termo, deve ser feita uma multiplicação, para chegar ao terceiro, duas, para chegar ao quarto, três, e assim sucessivamente. Portanto, para alcançar a posição n, são necessárias n-1 multiplicações.
Essa estrutura aproxima a PG da função exponencial: o índice determina a posição do termo na sequência, enquanto a razão determina a base da potência utilizada para obter cada novo termo.
Cálculo prático para encontrar termos desconhecidos
Se conhecermos o primeiro termo e a razão, podemos encontrar diretamente qualquer termo da PG utilizando a fórmula do termo geral. Por exemplo, se a1=3 e q=2, para encontrar o oitavo termo, basta substituir os valores na fórmula:
Assim:
Também é possível determinar a razão quando conhecemos dois termos que não são consecutivos. Nesse caso, utilizamos a relação entre esses termos:
Por exemplo, se a3=12 e a6=96, temos:
Observe que a diferença entre as posições dos termos, 6-3=3, indica quantas vezes a razão precisa ser aplicada para transformar a3 em a6.
Em alguns problemas, o valor desconhecido é justamente a posição n. Isso acontece, por exemplo, quando a questão pergunta depois de quantos períodos uma grandeza atingirá ou ultrapassará determinado valor. Nesse caso, partimos novamente do termo geral:
mas agora n aparece no expoente. Quando não é possível resolver a equação apenas por manipulação de potências, utilizamos logaritmos para determinar o valor de n.
Propriedades matemáticas aplicadas à sequência
Uma propriedade importante das PGs relaciona termos equidistantes dos extremos. Em uma PG finita com n termos:
Ou seja, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos próprios extremos.
Outra representação bastante útil aparece quando temos três termos consecutivos. Podemos escrevê-los como:
Essa notação facilita a resolução de problemas nos quais são fornecidos produtos ou relações entre termos, pois permite trabalhar diretamente com a razão.
Definição e aplicação da propriedade do termo médio
Em uma PG com três termos consecutivos, o termo do meio está relacionado aos dois termos vizinhos. O quadrado do termo central é igual ao produto dos termos extremos:
Essa relação também pode ser escrita como:
Ou seja, o termo central é a média geométrica dos termos que estão ao seu lado.
Essa propriedade é muito útil em questões de vestibular, principalmente quando alguns termos da PG são representados por incógnitas. Por exemplo, considere a sequência:
Para que esses três termos formem uma PG, o quadrado do termo central deve ser igual ao produto dos termos extremos:
Desenvolvendo:
A partir daí, basta resolver a equação do segundo grau e verificar quais soluções são válidas para o problema.
Como o termo geral de Progressão Geométrica cai nos vestibulares?
As PGs aparecem em diferentes contextos. Em Biologia e Saúde, podem representar crescimento de colônias bacterianas, reprodução celular ou situações em que uma população dobra a cada período.
Na Matemática Financeira, os juros compostos são um exemplo clássico:
em que o montante apresenta comportamento geométrico, com razão 1+i.
Na Física e na Química, relações geométricas podem aparecer em situações de decaimento radioativo, como nos processos de meia-vida, bem como podem surgir em problemas envolvendo amortecimento e redução progressiva de grandezas.
A PG ainda pode aparecer associada à Geometria dos Fractais, em que áreas, comprimentos ou quantidades de elementos são multiplicados por fatores constantes a cada etapa de construção.
Outra associação importante é com os logaritmos. Se o problema perguntar depois de quantos períodos uma grandeza ultrapassa determinado valor V, pode ser necessário partir de:
e aplicar logaritmos para determinar n.
Por fim, atenção ao índice temporal. Se uma situação começa em t=0, o primeiro valor pode corresponder a a1. Nesse caso, uma quantidade observada k períodos depois pode estar associada ao termo a(k+1). Essa diferença de uma unidade é uma fonte frequente de erros.
Questão do vestibular sobre progressão geométrica
Uece (2025) (1ª Fase)
Uma progressão geométrica é formada por seis termos os quais são números reais positivos. Se a soma dos termos de ordem par é igual a 21 e a soma dos termos de ordem ímpar é 10,5, é correto afirmar que o segundo termo desta progressão é igual a
A) 0,5.
B) 1,0.
C) 1,5.
D) 2,0.
Resposta:
Temos uma PG de seis termos positivos:
A soma dos termos de ordem ímpar é:
A soma dos termos de ordem par é:
1. Relacionando as duas somas
Em uma PG, os termos pares podem ser obtidos multiplicando os termos ímpares pela razão q:
Portanto:
Substituindo os valores:
2. Encontrando o segundo termo
Como a1 + a3 + a5 =10.5, temos:
Como q=2:
Logo:
Alternativa correta: B
Prepare-se para o vestibular com o Estratégia!
Nos cursos preparatórios da Coruja, os alunos são treinados para conectar diferentes áreas do conhecimento e aplicar essas informações em simulados e provas.
As aulas são ministradas por professores especialistas, com nossos Livros Digitais Interativos (LDI), além de contar com simulados exclusivos. Clique no banner e comece seus estudos com o Estratégia Vestibulares!
