Uma sequência numérica pode seguir a ordem “comum” (1,2,3,4..) ou ser estabelecida com operações matemáticas, por exemplo somar 3 a cada termo (1,4,7,10,13…). Nesse caso, os padrões são chamados de progressões numéricas e podem ser divididos em dois grandes grupos: aritméticas e geométricas.
Acompanhe o texto a seguir para entender cada uma das progressões e como elas se diferenciam entre si. Veja também questões de vestibular resolvidas sobre o tema, o que pode te ajudar na consolidação do conteúdo.
Navegue pelo conteúdo
O que são progressões?
Partindo do pressuposto de que progressões são sequências numéricas que seguem um padrão determinado, é necessário entender como se dão esses padrões.
Definido um elemento inicial para a sequência, é possível definir qual a operação matemática que construirá sua progressão. Por exemplo, se o primeiro termo for 2, você pode:
- Somar 2 a cada elemento (+2) e obter a progressão P (2,4,6,8,10,12…);
- Subtrair 5 em cada termo (-5), com a progressão P (2,-3,-8,-13,-18…);
- Multiplicar por 3 (*3), que resulta em P (2,6,18,54,162…); ou
- Dividir por 4, obtendo a sequência P (2, ½, ⅛, 1/32…).
Observe como nos casos de soma e subtração os valores variam de maneira linear, quando o valor somado ou subtraído (coeficiente) é “pequeno” (2 e 5).
Entretanto, para coeficientes tão baixos quanto (3 e 4) a variação dos elementos nos casos de multiplicação e divisão é mais abrupta.
Devido a essa diferença de desenvolvimento, as progressões admitem as classificações de aritméticas (provenientes de soma e subtração) e geométricas (quando ocorre divisão ou multiplicação).
Uma forma de compreender a diferença entre elas é a observação dos desenhos gráficos de cada uma:
Uma das aplicações desse conhecimento, inclusive, é muito utilizada nas ciências humanas. Durante seus estudos, o matemático Thomas Malthus propôs que a população seguia um padrão de crescimento semelhante a uma progressão geométrica. Enquanto isso, a disponibilidade de alimentos teria uma ascensão aritmética.
Com base nisso, ele formulou uma teoria de que a população não poderia continuar crescendo em ritmo tão acelerado, já que não haveria recursos suficientes para a sobrevivência caso os padrões se mantivessem. Foi a partir de então que surgiram as ideias de controle populacional, planejamento familiar e etc.
Atualmente, sabe-se que com a tecnologia e maior controle da natureza, as projeções apontadas por Malthus não se conferem.
Progressões aritméticas (P.A.)
Agora, você aprenderá fórmulas e conceitos importantes na determinação de cada um dos tipos de sequências numéricas padronizadas. Iniciaremos com o estudo das progressões aritméticas (P.A.), para isso partiremos do modelo de progressões aritméticas PA (3,7,11,15,19,23).
Para a construção delas, são necessárias duas variáveis principais:
- an — a representa o elemento da progressão e n é o seu posicionamento dentro da sequência. No exemplo, a1=3, a2=7, a3=12 e assim sucessivamente; e
- r é a grandeza que mede a variação entre um elemento e outro, consecutivo a ele. Numa progressão aritmética ela aparece somada ou subtraída dos termos, no exemplo, r = 4.
Fórmulas da progressão aritmética
Mas afinal, como é encontrado o coeficiente r de uma progressão aritmética?
Para isso, são utilizadas fórmulas matemáticas que ajudam na manipulação da sequência. Vamos considerar que, para
PA (3,7,11,15,19,23)
a1=3
a2=7
a3 = 11
Então, qual seria a relação de soma ou subtração entre esses valores? É possível equacionar essa pergunta como:
a1 + r = a2
3 + r = 7
r = 4
a2 + r = a3
a1 + r + r = 11
a1 + 2r = 11
3 + 2r = 11
2r = 8
r = 4
Note como as respostas são congruentes e como as equações se relacionam entre si: o r é mantido como um padrão e o número de vezes que ele é somado só elemento a1 diz fornece um novo elemento da sequência. A partir disso, foi criada a fórmula do termo geral de um P.A.:
an = a1 + (n-1).r
Veja uma demonstração do uso dela na mesma progressão já estudada:
a5 = a1 + (5-1).r
a5 = 3 + 4.r
a5 = 3 + 4.4
a5= 19, como mostra a sequência.
Com base nessas definições, é possível concluir que a progressão aritmética é uma sequência numérica em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante.
A partir do estudo matemático das P.A., foi possível determinar uma fórmula que fornece a soma total entre todos os termos da sequência. Veja abaixo e acompanhe o exemplo:
n = posição do elemento final da sequência
an = elemento final da sequência
Com o modelo anterior PA (3,7,11,15,19,23) a soma se dá como 3+7+11+15+19+23=78. Se utilizarmos a fórmula, teremos que:
n = 6
an = a6 = 23
a1 = 3
Sn = [6 . (3+23)]/2
Sn = (6 .26)/2
Sn = 78
Perceba que, mesmo se não soubéssemos os outros elementos da sequência, seria possível encontrar o valor da soma de todos os termos.
+ Veja também: Equações: principais tipos, fórmulas e aplicações
Progressão Geométrica (P.G.)
Como foi dito anteriormente, a progressão geométrica é uma sequência numérica em que a razão entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Matematicamente, as palavras razão e proporção sempre remetem à divisão ou multiplicação, de forma que essas são as operações essenciais da P.G.
Fórmulas da progressão geométrica
A fórmula que determina o termo geral de uma progressão geométrica é baseada em cálculos multiplicativos e exponenciais. Entenda a partir do exemplo, com uma P.G. de primeiro termo a1 e razão q:
P.G. (a1, a1.q, a1.q.q, a1.q.q.q)
Observe como a razão é adicionada como fator multiplicador em cada termo, de forma que ela poderia ser agrupado da seguinte forma:
P.G. (a1.q0, a1.q, a1.q2, a1.q3)
Como a relação entre o expoente q e a posição n do termo é sempre tal que para um elemento an → q(n-1), encontrou-se o termo geral da P.G.:
an = a1.q(n-1)
Além disso, é possível definir qual o valor da soma de todos os termos de uma P.G. somente com o valor de seu primeiro termo e do coeficiente q, acompanhe na figura:
A diferença entre as duas fórmulas é que:
- A soma dos termos finitos deve ser utilizado nos casos em que são conhecidos o número de elementos da P.G; e
- A soma dos termos infinitos é empregada em situações de desconhecimento sobre o número total de termos dentro da sequência geométrica.
Uma das aplicações das progressões geométricas está na fórmula dos juros compostos, quando a taxa de juros incide sobre cada parcela do financiamento, por exemplo. Observe a semelhança na fórmula:
valor acumulado = valor inicial . (1+taxa)tempo
+ Veja também: Matemática financeira: fórmulas, conceitos e importância
Questões sobre progressões geométricas e aritméticas
Agora, vamos colocar em prática todo o conhecimento adquirido com questões sobre progressões aritmética e geométrica:
PUC-SP
O terceiro termo de uma sequência geométrica é 10 e o sexto termo é 80. Então, a razão é:
a) 1
b) -1
c) -2
d) 2
e) 3
Do enunciado, temos que a3 = 10 e a6=80. Como trata-se de uma P.G., podemos utilizar a fórmula do termo geral (an = a1.q(n-1)), de modo que:
a3 = a1.q(3-1)
a3 = a1.q2
a1.q2 = 10
a6 = a1.q(6-1)
a6 = a1.q5
a1.q5 = 80
a1.q2.q3=80
10.q3=80
q3=8
q=2
Conheça as vantagens do Estratégia Vestibulares!
Você sabia que a Coruja oferece a possibilidade de personalização dos materiais e demais conteúdos, de maneira que seus estudos são distribuídos na semana conforme a sua disponibilidade, o que facilita a organização para assistir aulas e revisar matérias. Não perca tempo, clique no banner abaixo e saiba mais!
Veja também:
- Moda, média, mediana: o que é e como cai no vestibular?
- Matemática para Vunesp – Funções Matemáticas
- Regra de três simples e composta: veja como calcular
- Análise Combinatória no Enem: como cai
- Como calcular porcentagem?
- Binômio de Newton: o que é, como calcular e usos
- Probabilidade no Enem: conceitos e mais
- Prova de matemática Fuvest 2020 com Resolução Comentada
- Resolução da prova de Matemática da 2ª Fase da Unicamp 2020
- Prova de Matemática UNESP 2020 com Resolução Comentada
