Neste artigo, você vai conhecer o Teorema Fundamental da Aritmética e como esse assunto cai em prova.
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O que é o Teorema Fundamental da Aritmética?
“Todos os inteiros positivos maiores que 1 possuem uma decomposição única em fatores primos”.
Para entender melhor o teorema, vamos analisar alguns de seus detalhes.
Números Primos
Um número inteiro primo 
é um número que possui apenas quatro divisores distintos: e . Já um número natural primo n é um número que possui apenas dois divisores, que são 1 e o próprio número, ou seja, 1 e n. Exemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53…
Decomposição
Podemos dizer que decompor um número é escrevê-lo como o produto de fatores que ele, por exemplo, o número 84 poderia ser decomposto nas formas , entre outras.
Tendo entendido isso, podemos compreender com mais facilidade o significado do teorema: dado um número inteiro p, dentre todas as suas decomposições possíveis, existiria uma única tal que todos os elementos multiplicando sejam primos ou potências de primos:
, em que os são números primos.
Demonstração
A demonstração será dividida em duas etapas. Inicialmente, provaremos que uma decomposição em fatores primos e, em seguida, provaremos que essa decomposição é única.
Sendo x um número qualquer, queremos provar que existe uma decomposição de x em fatores primos. Para isso, usaremos um recurso indutivo:
- Começando com x=2, vemos que ele possui uma decomposição em fatores primos, já que ele próprio é um número primo, e podemos chamar essa decomposição de decomposição trivial.
- Sendo x > 2, se x for um número primo, então admite a decomposição trivial, da mesma forma que o número 2. Se x não for primo, então x possui um divisor positivo d qualquer, tal que x=dq. Analogamente ao que foi feito com x, caso d ou q sejam primos, eles admitem decomposição trivial. Se não forem, eles podem ser repetido até que se encontrem fatores que aceitam apenas a decomposição trivial, ou seja, fatores primos.
Uma vez provada a existência da decomposição, devemos provar que essa é única:
Vamos supor que o número x admite duas decomposições em primos, de modo que e . Chamaremos s de comprimento de x.
Então como divide divide e é primo, devemos ter . Cancelando dos dois lados da igualdade, teremos . Assim, vemos que , pois se , teríamos um produto de números primos resultado em 1, o que é um absurdo.
Assim, todo o número de comprimento 1 admite uma única decomposição.
Agora, suponha que, para algum k natural, números de comprimento k admita uma única decomposição. Sendo x tal que , em que os fatores estão dispostos em ordem crescente, vamos provar que números de comprimento admitem uma única decomposição.
divide , então divide algum . Como ambos são primos, , e sabemos que , pois os números estão em ordem crescente. Da mesma forma, divide , então , para algum j.
Desse modo, . Cancelando os dois valores na igualdade, teremos que .
Temos, assim, um número de comprimento , que, pela hipótese de indução, possui uma única decomposição. Concluímos, assim, que a decomposição de fatores primos de um número x qualquer existe e é única.
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