Você já deve ter ouvido falar que algumas grandezas físicas são medidas em vetores. Mas, afinal como é feito o cálculo vetorial e como o assunto pode ser aplicado nas questões de vestibulares brasileiros?
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O que é cálculo vetorial?
O cálculo vetorial abrange as operações matemáticas feitas com grandezas físicas que possuem intensidade, direção e sentido. Nesse caso, todas essas propriedades são consideradas importantes e relacionadas geometricamente.
A principal intenção do cálculo vetorial é encontrar um único vetor que, se adicionado no sistema, terá o mesmo efeito que a disposição de todos os outros. Por exemplo, empenhar uma força de 10 N para a direita e uma força de 5 N para a esquerda, é equivalente a impulsionar uma única força de 5 N para a direita.
Vetores
Os vetores são ferramentas físico-matemáticas utilizadas para conferir orientação espacial aos valores encontrados. Eles garantem que as forças não sejam meros números, mas assumam direções e sentidos específicos.
Eles possuem três características essenciais:
- Intensidade: a quantidade numérica que indica a vigor do ente que está sendo medido;
- Sentido: é o “lado” para o qual aponta a seta do vetor — para cima, para baixo, para trás, para a direita, etc; e
- Orientação: é a reta onde o vetor se encontra — horizontal, vertical, diagonal com xº de angulação e assim por diante.
Veja um exemplo do vetor V1, em que a intensidade é dada pelo valor numérico V1 = 10 m/s. A direção é horizontal, sendo essa a reta em que ele se apoia. Por fim, o sentido aponta para a direita.
Soma vetorial
Agora que já conhecemos as principais propriedades de um vetor, chegou a hora aprender os métodos utilizados para realizar o cálculo vetorial que se dá, principalmente, pela soma entre eles.
Método da poligonal
Nessa técnica da soma, os vetores devem ser adicionados em sequência (a seta de um na ponta sem seta do outro), até que todos estejam posicionados. No fim do processo, você deve traçar um vetor que vai de uma extremidade a outra: as pontas de seta se encontram formando uma resultante.
A imagem acima mostra que a soma entre os vetores 
e 
resulta no mesmo vetor resultante 
. Perceba que a ordem dos elementos não altera a equivalência encontrada.
É necessário também realizar operações geométricas que meçam o comprimento dos lados do polígono, encontrando assim a intensidade numérica da grandeza vetorial.
A vantagem desse método é a facilidade de encontrar a resultante. A principal desvantagem é que suscita conhecimento geométrico aprofundado e pode demandar muito tempo para resolução, uma vez que os ângulos podem complicar o cálculo vetorial.
Método do paralelogramo
O método do paralelogramo é muito utilizado para agilizar o cálculo vetorial. Nessa técnica, dois vetores são dispostos em sequência. Posteriormente, são traçadas linhas paralelas a eles, formando um paralelogramo.
Nesse caso, a diagonal principal do polígono é o vetor resultante — que também é a bissetriz do ângulo entre os vetores somados. Veja na figura abaixo:
A soma entre os vetores u e v, acontece pela construção do paralelograma de vértices (2,1), (3,4), (7,4) e (6,1). A diagonal w, portanto, representa o vetor resultante do cálculo vetorial.
Para encontrar a intensidade da resultante (R), existe uma fórmula, que foi estudada a partir dos estudos da geometria e trigonometria. Observe:
R2 = U2 + V2 + 2.U.V.cos θ
Nesse caso, algumas considerações fazem-se necessárias:
- Como o cosseno de 0º é igual a 1, se θ=0º a R = U + V;
- Se θ=90º, o cosseno é igual a 0, então R2 = U2 + V2; e
- Já que o cosseno de 180º é igual a -1, se θ=180º a R= U – V.
Perceba que por apresentar uma fórmula matemática e permitir o encadeamento de dois vetores por vez, esse método é muito útil para encontrar a intensidade do vetor resultante com certa praticidade.
Questão de cálculo vetorial
Observe a resolução do exercício de cálculo vetorial, que apareceu na prova da UFLA (Universidade Federal de Lavras) em 2014, por meio da técnica poligonal:
Duas forças F1 e F2, perpendiculares entre si, agem sobre um corpo. Se seus módulos são F1=20,0 N e F2=15,0 N, indique a força resultante no objeto.
a) 5,0 N
b) 25,0 N
c) 35,0 N
d) 40,0 N
O enunciado aponta que as forças F1 e F2 são perpendiculares, ou seja, seu θ=90º. Como está posto no esquema a seguir:
Como vimos acima, podemos utilizar a fórmula R2 = U2 + V2 para encontrar o módulo da força resultante FR, já que cos 90º = 0. Então:
R2 = F12 + F22
R2 = 202 + 152
R2 = 400 + 225
R2 = 625
R = √625
R = 25 N (alternativa B)
Método da projeção cartesiana
Além dos métodos já citados, uma outra técnica muito utilizada para o cálculo vetorial a nível de ensino médio e vestibular é a projeção gráfica. Nesse caso, insere-se os vetores no plano cartesiano e são desmembrados em projeções no eixo das abscissas e ordenadas.
Para efetuar o cálculo de fato, são somados os componentes vetoriais em x e y. Depois, fecha-se um triângulo entre os dois vetores sobrantes. A hipotenusa, portanto, representará a resultante vetorial. Entenda melhor com o esquema a seguir:
Como o sentido entre UY e VY são opostos, a soma prevalece para o sentido de maior intensidade. Ou seja, 9 para cima adicionado de 5 para baixo resulta em 4 para cima. Pode parecer meio confuso agora, mas imagine a seguinte situação:
Você anda 9 quarteirões no sentido sul e depois volta 5 quarteirões no sentido norte. No fim das contas, é como se você tivesse andado apenas 4 quarteirões para o sul. Essa é a lógica da soma vetorial, que se repete para os componentes UX e VX..
Dado que o triângulo formado é retângulo, utiliza-se a fórmula de pitágoras para concluir o valor da resultante:
RX2 + RY2 = R2
32 + 42 = R2
9 + 16 = R2
25 = R2
R = 5
Esse método pode ser muito utilizado na geometria analítica e nos casos em que os ângulos encontrados diferem muito. Fato é que todas as técnicas de cálculo vetorial dependem das informações fornecidas pelo enunciado e da afinidade do estudante com ela.
Portanto, escolha um modo de resolução e treine ele durante todo o estudo das grandezas vetoriais — mas não ignore as outras possibilidades, sempre usando-as para memorizar. Com isso você está preparado para resolver questões sobre o assunto!
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