A coroa circular é a região compreendida entre duas circunferências concêntricas, mas com raios diferentes. Seu formato lembra um anel e aparece em diversos contextos como peças mecânicas e jardins circulares.
Compreender esse conceito permite resolver problemas que exigem determinar a diferença entre superfícies circulares. Logo, pode ser aplicado em situações reais, como o dimensionamento de objetos ou a medição de áreas anelares.
Neste texto, você vai compreender o que é uma coroa circular, conhecer suas propriedades, aprender a calcular sua área por diferentes métodos e conhecer algumas aplicações. Acompanhe abaixo.
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Conceito de coroa circular
Uma coroa circular é a região plana compreendida entre duas circunferências concêntricas, ou seja, que têm o mesmo centro, mas raios diferentes. Visualmente, uma forma circular “vazada” no meio semelhante a um anel.
Podemos imaginar a construção de uma coroa circular da seguinte forma: desenhamos uma circunferência maior de raio R e, com o mesmo centro, desenhamos outra circunferência menor, de raio r. Observe:
A área da coroa circular corresponde à parte do plano entre essas duas circunferências.
Os elementos principais dessa figura são:
- O centro comum, ponto que pertence a ambas as circunferências;
- O raio da circunferência maior (R); e
- O raio da circunferência menor (r).
A condição para que a coroa exista é que R > r, pois o raio da circunferência maior precisa ser superior ao da menor, garantindo uma região com área positiva entre elas.
Assim, quando R = r, as duas circunferências coincidem e a coroa “desaparece”; e se R < r, a situação é impossível, pois não existe uma região entre elas.
Área da coroa circular
O cálculo da área da coroa circular parte de uma ideia simples: ela é a diferença entre as áreas de dois círculos concêntricos. Primeiro, calcula-se a área do círculo maior, depois subtrai-se a área do círculo menor (interno).
Matematicamente, podemos escrever:
ACoroa =ACírculo Maior – ACírculo Menor
Sabemos que a área de um círculo de raio r é dada pela fórmula A = πr². Aplicando isso para os dois círculos, temos:
ACírculo Maior = πR²
ACírculo Menor = πr²
Logo,
ACoroa = πR² – πr²
Colocando π em evidência, chegamos à forma mais simples e prática da expressão:
ACoroa = π (R² – r²)
Essa fórmula mostra que o que realmente determina a área da coroa circular não é a diferença dos raios, mas a diferença dos quadrados dos raios.
Relação com a corda tangente
Uma relação muito interessante é a que envolve a corda tangente à circunferência menor. Imagine que desenhamos uma corda da circunferência maior que seja tangente à circunferência menor, ou seja, ela encosta na menor em apenas um ponto.
Se traçarmos uma linha do centro comum até o ponto de tangência, teremos um raio r (da menor). Se ligarmos o centro até uma das extremidades da corda, teremos um raio R (da maior). Dessa forma, formamos um triângulo retângulo, no qual:
- A hipotenusa é o raio da maior (R);
- Um cateto é o raio da menor (r); e
- O outro cateto é a metade da corda tangente, L/2.
Aplicando o Teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos:
Isolando R² – r², obtemos:
Substituindo essa relação na fórmula da área da coroa circular, chegamos a uma fórmula alternativa, útil quando o problema fornece o comprimento da corda tangente:
Portanto:
Essa expressão permite calcular a área da coroa sem precisar conhecer os raios, desde que o comprimento da corda tangente seja fornecido.
Resolução de problemas envolvendo coroa circular
Os problemas sobre coroas circulares variam de acordo com as informações fornecidas, mas todos se baseiam no mesmo princípio: compreender as medidas dadas (raios ou corda tangente) e aplicar corretamente a fórmula da área.
A seguir, veja exemplos de situações contextualizadas semelhantes às encontradas em vestibulares:
Problema com os dois raios (R e r) conhecidos
Um jardim circular possui uma fonte no centro. O raio da fonte mede 8 metros, enquanto o raio externo do jardim (até o limite da grama) é de 10 metros. Deseja-se calcular a área da faixa gramada, ou seja, a área da coroa circular formada entre a fonte e o limite do jardim.
Resolução: Para este tipo de problema basta aplicar a fórmula direta da diferença entre as áreas dos círculos.
A= π(R² – r² )
A= π(10² – 8² )
A= π(100 – 64)
A= 36π m²
Logo, a área da parte gramada é 36π m².
Problema com a corda tangente conhecida (sem os raios)
Uma peça metálica em forma de anel possui uma circunferência interna e outra externa concêntricas. A distância entre dois pontos opostos da borda externa, medida por uma corda tangente à parte interna, é de 8 cm. Determine a área da parte metálica (coroa circular) dessa peça.
Resolução: Sabemos que, quando o comprimento da corda tangente é L, a área da coroa é dada por:
Substituindo L = 8 cm:
Portanto, a área da região metálica é 16π cm², ou cerca de 50,24 cm².
Problema com a área e um dos raios conhecidos
Uma pista de corrida circular tem um traçado interno e outro externo, de modo que a área total da pista corresponde a 75π m². Sabendo que o raio interno mede 5 m, determine o raio externo.
Resolução: nesse caso podemos utilizar a fórmula principal da área da coroa circular
A= π (R² – r²)
Substituímos os valores:
75π = π (R² – 5²)
R² – 25 = 75
R² = 100
R=10 m
Assim, o raio externo da pista é 10 metros.
Problema contextualizado com aplicação prática
Uma tampa circular de concreto possui um buraco central circular para encaixe de um cano. O raio externo da tampa é de 15 cm e o raio do buraco central é de 5 cm. Sabendo que o concreto custa R$ 0,02 por cm², qual será o custo total do material usado para fabricar uma tampa?
Resolução:
A= π (R² – r²)
A= π (15² – 5²)
A= π (225 – 25)
A= 200 π cm²
Valor do material:
200 π x 0,02 = 4 π ≈ R$ 12,56
Portanto, o custo do concreto será de aproximadamente R$ 12,56.
Problema inverso (descobrir o raio interno)
Um anel de ouro possui raio externo de 12 mm e área total da parte metálica igual a 80π mm². Determine o raio interno do anel.
Resolução:
A= π (R² – r²)
80π = π (12² – r²)
80 = 144 – r²
r²=64
r= 8 mm
O raio interno do anel é 8 mm.
Erros Comuns e Como Evitá-los
Estudantes frequentemente cometem erros por distração ou por confundir fórmulas semelhantes. Veja os principais deslizes e como evitá-los:
- Esquecer de elevar os raios ao quadrado: sempre lembre que a fórmula envolve R² e r², e não apenas R e r;
- Usar a diferença simples dos raios (R − r): a área depende da diferença dos quadrados, não da diferença simples [R² – r²≠ (R – r)²];
- Confundir área com comprimento da circunferência: o comprimento da circunferência é C=2πr, não πr²;
- Erros com o valor de π: em cálculos aproximados, use π ≈ 3,14 ou π ≈ 22/7. Mas, em problemas simbólicos, mantenha π na resposta; e
- Desenhos incorretos: muitos erros surgem por não representar corretamente o problema. Sempre desenhe as duas circunferências, marque R, r e, se houver, a corda tangente.
Questão do vestibular sobre área da coroa circular
Enem 2018
A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.
O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos A e B, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta AB: 16 m.
Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.
A medida encontrada pelo engenheiro foi
A) 4π.
B) 8π.
C) 48π.
D) 64π.
E) 192π.
Resposta:
Sabemos que, quando é fornecido o comprimento da corda tangente, a área da coroa pode ser calculada por:
Substituindo L = 16 m:
Alternativa correta: D
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