Trigonometria no triângulo retângulo: fórmulas e questão

Trigonometria no triângulo retângulo: fórmulas e questão

O estudo da trigonometria no triângulo retângulo leva em consideração os ângulos agudos que se formam em uma figura geométrica que possui, obrigatoriamente, três lados e um dos ângulos com valor de 90º.

Existem fórmulas específicas para encontrar o valor de seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo, que não se aplicam a outros tipos de triângulos. Além disso, esse conhecimento pode ser útil em vários ramos das ciências exatas, como as geometrias plana, analítica e espacial, além da física e química, com estudos gráficos importantes.

Neste artigo você conhecerá as principais fórmulas para encontrar as relações trigonométricas no triângulo retângulo. Além disso, vamos aplicar esses conceitos ao resolvermos, juntos, uma questão de vestibular que aborda o tema. Aproveite o conteúdo!

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Definição de trigonometria no triângulo retângulo

O que é trigonometria?

A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações numéricas entre os ângulos. Para isso, foi padronizado um círculo, chamado de ciclo trigonométrico. Essa ferramenta relaciona a abertura do ângulo com a projeção dessas retas sobre o eixo x e y do plano cartesiano

A partir disso, cada ângulo pode ser descrito por três funções trigonométricas principais: o seno, o cosseno e a tangente. Outras associações podem ser encontradas, mas tratam-se da inversão desses mesmos cálculos, como a cotangente, a cossecante e a secante. 

Trigonometria: ciclo
Imagem: Reprodução/Wikimedia

Observe, na figura acima, que esse ciclo trigonométrico forma, a partir de aberturas angulares centrais, diferentes triângulos retângulos. Os lados são formados pelos eixos x e/ou y, ou pela projeção deles dentro do gráfico.

Diante dessa percepção, é possível entender que a maior parte das relações trigonométricas podem ser encontradas em um triângulo retângulo. Para isso, não é necessário que essa figura esteja inserida em um ciclo, apenas com o valor que representa os lados você pode encontrar essa informação.

+ Veja também: Operações com arcos: o que são, ciclo trigonométrico e como fazer

O que é um triângulo retângulo?

Na geometria, um triângulo retângulo é definido como uma figura geométrica plana que possui três lados. Dois dos lados se relacionam em um vértice, com abertura de exatamente 90º, enquanto que os outros dois ângulos são agudos (menores que 90º) — quando somados, os três ângulos devem resultar em 180º.

Os lados de um triângulo retângulo possuem nomenclaturas diferentes: o segmento de reta que fica imediatamente oposto ao ângulo reto é chamado, especificamente, de hipotenusa. Os lados que sobram serão os catetos. 

Diante disso, ainda, é importante entender os conceitos de cateto adjacente e cateto oposto. Essas ideias são relativas, e variam conforme a proximidade com o ângulo que está sendo medido.

exemplo de triângulo retângulo
Imagem: Reprodução/Wikimedia

Na imagem acima, pode-se definir que o lado do triângulo que está oposto ao ângulo reto é o m. Veja como esse segmento de reta não se relaciona com o vértice que forma essa abertura de exatos 90º — então, m é a hipotenusa dessa figura, e essa definição não muda. Ou seja, para esse triângulo, a única hipotenusa possível é a de nome m.

Para definir qual cateto é adjacente ou oposto, primeiramente, vamos considerar o ângulo ε. Perceba como o lado e não faz relação com essa abertura, nem participando da formação do vértice, como se estivessem afastados fisicamente. Nesse caso, esse é o cateto oposto.

Já o lado representado por f participa ativamente da formação de ε, então ele será o cateto adjacente. Note que o termo “adjacente” significa ficar próximo ou permanecer junto, unido, ou seja, é considerada a proximidade entre o lado e o ângulo.

Caso o parâmetro de comparação fosse o ângulo φ, o cateto que mais faz relação com a abertura é o nome e, esse seria o cateto adjacente. De modo semelhante, o cateto f está longe desse ângulo e seria considerado o cateto oposto. 

O conhecimento desses conceitos é essencial para a perfeita compreensão da trigonometria no triângulo retângulo. Afinal, todas as fórmulas observadas levam em consideração os valores de um desses lados. 

+ Veja também: Figuras Geométricas: planas, espaciais e como aparece nos vestibulares

Fórmulas de trigonometria no triângulo retângulo

As fórmulas utilizadas para determinar a trigonometria no triângulo retângulo estão descritas abaixo. Por meio desses cálculos, é possível encontrar a função seno, cosseno e tangente de cada triângulo.

No caminho contrário, é possível calcular o valor de um cateto sabendo, por exemplo, qual a hipotenusa do triângulo e qual o valor do seno do ângulo em destaque. Com isso, diferentes questões de geometria podem ser solucionadas. 

Seno

A função seno de um ângulo relaciona o valor do cateto oposto com o valor da hipotenusa, da seguinte forma:

seno ???? = cateto oposto / hipotenusa

Cosseno 

A função cosseno do ângulo, no triângulo retângulo, é obtida pela divisão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, conforme o cálculo:

cosseno ???? = cateto adjacente / hipotenusa

Tangente 

Por fim, a tangente de um ângulo pode ser calculada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, assim:

tangente ???? = cateto oposto / cateto adjacente

Exemplo de trigonometria no triângulo retângulo

estudo de trigonometria no triângulo retângulo
Imagem: Reprodução/Wikimedia

Para encontrar o valor do seno, cosseno e tangente de ????, são desenvolvidos os seguintes cálculos:

seno ???? = y / r

coseno ???? = x / r

tangente ???? = y / x

  • Cateto oposto a ???? = y;
  • Cateto adjacente a ???? = x ; e
  • Hipotenusa = r.

Questão de vestibular sobre trigonometria no triângulo retângulo

(Cesgranrio) Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:

a) 0,5 m
b) 1 m
c) 1,5 m
d) 1,7 m
e) 2 m

A ideia do exercício é perceber que, o comprimento da escada não vai se alterar conforme a inclinação dela com o chão. Ao mesmo tempo, essa angulação é determinante para a altura que a escada vai alcançar e qual comprimento do chão ela vai comprometer.

A imagem 2d dessa situação forma, exatamente, um triângulo retângulo, conforme representado a seguir:

exemplo de triângulo retângulo em questão sobre trigonometria

Com a figura geométrica e a representação em mãos, podemos lançar mão de uma fórmula trigonométrica que relacione o valor que a questão pede e os valores conhecidos. 

Em mãos, sabemos que o ângulo formado entre a escada e o chão é de 30º, a hipotenusa, que é a escada, mede 2 metros. A distância do topo da escada ao chão será representada, então, por x. No desenho, x é o cateto oposto do triângulo. 

Nesse sentido, a fórmula que melhor relaciona cateto oposto, hipotenusa e ângulo é o seno:

sen ???? = cateto oposto/hipotenusa

sen 30º = x/2

A partir de cálculos padronizados, está descrito que o seno 30º = 1/2. Como você pode conferir no artigo sobre funções trigonométricas. Com isso, teremos que:

1/2 = x/2

x = 1m, conforme aponta a alternativa B.

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