Os conjuntos numéricos são maneiras de classificar os números conforme suas características. Seja ele negativo ou positivo, fracionário ou não, entre outros pontos que podem ser considerados.
No artigo a seguir você entenderá melhor cada um dos conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais e irracionais. Veja também como esse assunto pode ser cobrado no seu vestibular, o que ajuda na compreensão direcionada do conteúdo, conforme a necessidade das provas. Vamos lá?
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Definição de conjuntos numéricos
Os conjuntos de números nada mais são que agrupamento de valores numéricos com características semelhantes. A criação desses grupos foi necessária para a melhor compreensão, caracterização e classificação dos números, de forma que facilite o desenvolvimento de cálculos.
Por exemplo, nos problemas matemáticos que requerem a resolução de equações, é comum que apareçam enunciados como “considere que m pertence ao conjunto dos números reais”, ou “sabendo que x é um número inteiro”. Essas frases delimitam a quantidade de respostas possíveis e facilita a estruturação das contas.
Principais tipos de conjuntos
Naturais (lN)
O conjunto dos números naturais, representados pela letra lN é aquele em que os valores são sempre positivos, incluem o zero e têm contagem infinita. É a forma de contar mais primária, que é aprendida pelas crianças na fase de alfabetização.
lN = {0,1,2,3,4,5…}
Na notação dos conjuntos numéricos, é possível definir que o número 0 seja excluído dos elementos, como mostra o exemplo abaixo:
lN* = N – {0} (lê-se: conjunto dos números naturais, sem o elemento 0)
lN* = {1,2,3,4,5…}
Outras delimitações podem ser feitas, como a escolha entre os números pares (p) e ímpares (i), com ou sem zero. Veja:
- lNp* = {2,4,6,8,10, … 2n,…} números naturais pares, sem o número zero.
- lNi* = {1,3,5,7,9, … 2n+1,…} naturais ímpares, sem o zero como elemento do conjunto.
Inteiros (Z)
O próximo conjunto numérico depois dos naturais é o conjunto dos números inteiros, representados pela letra Z. Nesse caso, serão adicionados os valores negativos do sistema numérico, como você pode observar:
Z = {-3,-2,-1,0,1,2,3,4…} números inteiros
Assim como no caso anterior, é possível definir qual tipo de valores você deseja no conjunto dos números, conforme suas necessidades. Nesse caso, com a adição dos símbolos de negativo (-) e positivo (-) no canto inferior direito:
- Z_ = {…,-4,-3,-2,-1,0} números inteiros negativos, com a inclusão do valor zero
- Z*_= {…,-4,-3,-2,-1} inteiros negativos, sem o zero
- Z+ = {0,1,2,3,4,5…} valores inteiros positivos, com o número zero
Racionais (Q)
Os números racionais, por sua vez, adicionam os conceitos de divisibilidade e frações como elementos do conjunto numérico. Ou seja, os valores fracionários, com decimais e as dízimas periódicas aparecem na construção deste agrupamento. Observe com os exemplos:
Q = {…-1,- 1⁄2, 0,+½,+1,+3/2…}
Q*={…-1,- 1⁄2,+½,+1,+3/2…}
Q*_={…-2,-3/2,-1,- 1⁄2}
A verdadeira definição de um número racional Q é dada por Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N}, que se lê:
Um número x pertence ao conjunto dos números inteiros, de forma que x= a/b. Em que a pertence ao conjunto dos números inteiros e b pertence ao conjunto dos números naturais.
Irracionais (I)
Os valores irracionais, por sua vez, são as raízes não exatas e decimais infinitos, também chamados de dízimas não periódicas. Isso quer dizer que valores como o número pi (?), √5 e √7 são irracionais.
Para diferenciar um número racional de um número irracional você pode:
- Observar a definição de números racionais. Se o valor não atende aos requisitos “x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N”, é um número irracional;
- Notar se existe um padrão de repetição dos algarismos depois da vírgula (dízima periódica). Quando esse padrão não acontece, temos um número irracional.
+ Veja também: Equação Irracional: o que é e como resolver
Reais (lR)
O conjunto dos números reais abrange os números racionais e irracionais. Como você poderá observar mais a frente, os conjuntos lN e Z estão inclusos no conjunto Q, que por sua vez está incluso em lR.
Por essa razão podemos colocar que entre 2 e 3 temos os valores 2,1; 2,12; 2,13; 2,1244; 1,5; 1,34; 1,56 e milhares de outros exemplos que são modificados pela adição de dígitos decimais.
Representação gráfica dos conjuntos numéricos
Para representar graficamente os conjuntos de números, observou-se a congruência entre os elementos de um e de outro. Como foi citado anteriormente, um conjunto “está dentro” de outro e assim por diante. Assim, a melhor forma de representar é:
Note que os números irracionais formam um agrupamento à parte, não se enquadrando nas congruências de lN, Z e Q. De toda forma, I não deixa de ser um número real, já que está circunscrito na figura laranja.
Aplicação prática e questões sobre conjuntos numéricos
Com a resolução do exercício abaixo, você pode entender qual a funcionalidade prática dos conjuntos numéricos, bem como perceber o nível de cobrança do assunto nos vestibulares. Acompanhe!
PUCCAMP 2000
Considere os conjuntos:
IN, dos números naturais,
Q, dos números racionais,
Q+, dos números racionais não negativos,
IR, dos números reais.
O número que expressa
a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de IN.
b) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de IN.
c) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+
d) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+
e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q
A: a quantidade de habitantes de uma cidade precisa ser um número positivo e não fracionado, uma vez que não é possível ter “meio habitante”. Assim, será um valor lN — alternativa errada.
B: A altura de uma pessoa pode ser 1,62m, um valor racional (Q) — alternativa errada.
C: A velocidade média de um veículo pode ser tanto de Q+, como de Q_ conforme a o sentido da trajetória adotado e necessidade do motorista — alternativa incorreta.
D: Para o pagamento de produtos, utilizamos sempre valores positivos e, muitas vezes, centavos (frações). De forma que o dinheiro será contado como elemento do conjunto Q+, como aponta a alternativa, que está correta.
E: a medida do lado de uma triângulo não pode ser negativa, por isso não poderá ser contada em Q, o que demonstra o erro da alternativa.
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