Uma função composta acontece quando uma função matemática está dentro de outra função, de forma que pode combinar duas ou mais variáveis. De maneira geral, esse tipo de cálculo favorece a inter-relação entre diferentes conjuntos numéricos.
Para entender com mais precisão o que é uma função composta, além de observar diagramas matemáticos que sintetizam esse conhecimento, continue lendo este artigo. Ao final, você pode acompanhar a resolução de uma questão de prova com esse tema, que é bem recorrente nos vestibulares que mais existem matemática, como Fuvest e Vunesp. Vamos lá?
Navegue pelo conteúdo
Definição de função composta
A função composta é formada por no mínimo duas outras funções. De maneira genérica, podemos chamá-las de g e f, que compartilham um dos conjuntos numéricos: o domínio da função g é igual ao contradomínio da função f.
Antes de continuar as explicações a respeito do tema, vamos recordar os conceitos de domínio e contradomínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os elementos que podem ser substituídos pela incógnita naquela expressão matemática. Por exemplo, se a função f(x) = x + 2, o domínio pode ser dado por qualquer número real, com resultados possíveis. Entretanto, se f(x) = 2/x, a incógnita inserida não poderá ser igual a 0, já que é impossível dividir por 0. Nesse caso, o domínio da função é representado por todos números reais, exceto 0.
O contradomínio da função é o grupo de números y que podem ser dados como resposta para aquele cálculo. Ainda com exemplos para facilitar a compreensão, se f(x) =x2, o contradomínio não pode possuir valores negativos, já que não existem valores reais que, elevados ao quadrado, resultem em y<0.
Em sequência à definição de função composta, admite-se as funções f: X → Y e g: Y→Z. Dessa forma, a relação entre f(x) e g(x) pode ser chamada de gof (x) = g(f(x)). Com esse conceito, pode-se concluir que gof: X → Z.
Acompanhe o esquema gráfico abaixo, que exemplifica as informações citadas até aqui:
Como resolver uma função composta?
Para solucionar um problema matemático em que apareça uma função composta, deve-se seguir a regra dos parênteses. Observe a expressão que define ambas as funções. A partir disso, pode-se substituir o cálculo da função interior na incógnita da função que fica por fora. Acompanhe os exemplos!
(Cefet – PR) Se f(x) = x5 e g(x) = x – 1, a função composta f[g(x)] será igual a:
a) x5 + x – 1
b) x6 – x5
c) x6 – 5x5 + 10x4 – 10x3 + 5x2 – 5x + 1
d) x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1
e) x5 – 5x4 – 10x3 – 10x2 – 5x – 1
O primeiro passo será substituir “g(x)” dentro do colchete. Nesse sentido, colocamos toda a expressão g(x) = x -1 como incógnita da função f, assim:
f [g(x)] = f [ x -1]
Em seguida, assume-se que a incógnita da equação matemática é toda a expressão que fica dentro do colchete. E, a partir disso, podemos realizar a substituição em f(x)=x5.
f [g(x)] = f [ x -1]
f [ x -1] = (x -1)5
A seguir, a ideia da questão é desenvolver os cálculos, com as habilidades de potenciação, exponenciação e domínio das propriedades da multiplicação:
f [ x -1] = (x -1)5
(x -1)5 = (x-1)2.(x-1)2.(x-1)
(x -1)5 = (x2 – 2x + 1).(x2 – 2x + 1).(x-1)
(x -1)5 = (x4 – 2x³ + x² – 2x³ + 4x² – 2x + x² – 2x + 1) . (x – 1)
(x -1)5 =(x4 – 4x³ + 6x² – 4x + 1) . (x – 1)
f (g(x)) = x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1, conforme alternativa D.
Questões de vestibular sobre função composta
1 – (Unicamp 2020) Sabendo que a é um número real, considere a função f(x) = ax + 2 definida para
todo número real x. Se f(f(1)) = 1 então
a) a =-1.
b) a = -1/2
c) a = 1/2
d) a=1
O primeiro passo é descrever a função f(f(1)), substituindo x=1 na expressão que fica dentro do parênteses principal.
f (f(1)) = f (a.1 + 2)
f (f(1)) = f (a + 2)
f (f(1)) = a. (a+2) + 2
f (f(1)) = a2 + 2.a + 2
Se f(f(1)) = 1, podemos concluir os cálculos assim:
a2 + 2.a + 2 = 1
a2 + 2.a + 2 -1 = 0
a2 + 2.a + 1 = 0
Com o método da soma e produto, fazemos:
a=1
b=2
c=1
-b/a = a1 + a2
c/a = a1.a2
-2 = a1 + a2
1 = a1.a2
Por tentativa e erro, pode-se imaginar que -1 + (-1) = -2. De modo semelhante, (-1).(-1)=1. Dessa forma, a1 = a2 = a = -1, conforme alternativa A.
2 – (Mackenzie – SP) As funções f(x) = 3 – 4x e g(x) = 3x + m são tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. O valor de m é:
a) 9/4
b) 5/4
c) -6/5
d) 9/5
e) -⅔
Primeiramente, é necessário igualar gof = fog, assim:
f(3x + m) = g(3 – 4x)
Como conhecemos a expressão matemática de cada uma delas, é necessário substituir o valor de x em f(3x + m) = 3 – 4(3x + m). Em sequência, substitui-se em g(3 – 4x) = 3(3 – 4x) + m. Agora, igualamos os cálculos:
3 – 4(3x + m) = 3(3 – 4x) + m
3 – 12x – 4m = 9 – 12x + m
3 – 9 = m + 4m
-6 = 5m
m = -6/5, como aponta a alternativa C.
Estude com o Estratégia Vestibulares!
O canal do YouTube da Coruja disponibiliza aulas gratuitas sobre os mais variados temas, desde matemática e português, até uma abordagem interdisciplinar sobre temas geopolíticos. Na aula abaixo, o professor de matemática Andrew Cazemiro faz um grande resumo sobre as funções matemáticas, uma ótima forma de revisar o conteúdo sem perder muito tempo!
O Banco de Questões do Estratégia é uma ferramenta essencial para o preparo antes da prova: são milhares de questões de vestibulares agrupadas por disciplina e tema, com resolução em vídeo e/ou texto. Assim, você pode treinar seu conhecimento e reconhecer suas maiores habilidades e dificuldades em cada área do ensino.
Veja também:
- Equações: principais tipos, fórmulas e aplicações
- Função de Primeiro Grau: o que é e como aplicar em prova?
- Equação do primeiro grau: o que é, tipos, como resolver e questões
- Fatoração: o que é, como fazer, aplicações e questões de vestibulares
- Inequações: o que são, como resolver e questões
- Produtos notáveis: definição, fórmulas e aplicações
- Função de Segundo Grau: o que é e como resolver questões
- Equação do segundo grau: como resolver, fórmulas, exercícios de vestibulares
- Sistemas lineares: o que são, como resolver e aplicações
- Regra de sinais: o que é e como funciona o jogo de sinais
- Função modular: o que é, propriedades, exercícios de vestibulares
- Função injetora e sobrejetora: o que são, como entender, questões de vestibular
