Função injetora e sobrejetora: o que são, como entender, questões de vestibular

Função injetora e sobrejetora: o que são, como entender, questões de vestibular

Para resolver diversos exercícios de vestibulares, nas áreas exatas, é importante estudar as funções matemáticas e suas características. Em meio a esse assunto, conhecer as classificações de função injetora e sobrejetora, assim como a forma bijetora, é importante.

A partir desse conhecimento, será possível resolver questões teóricas sobre a disciplina, assim como resolver com mais facilidade cálculos que envolvem um desses tipos de funções. Continue lendo este artigo e acompanhe um resumo sobre função injetora e sobrejetora.

Ao final, veja também o gabarito comentado para exercícios de vestibulares sobre o tema. Assim você pode testar sua compreensão sobre o assunto e aprender um raciocínio lógico para seguir na resolução das questões. 

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O que é função injetora e sobrejetora?

Os conceitos de função injetora, sobrejetora e bijetora abordam a relação entre o domínio e o contradomínio dessas expressões matemáticas. Vamos, então, recordar algumas definições importantes no estudo das funções. 

A função é uma regra matemática que associa o elemento x, presente em um conjunto numérico A (x ∈ A), para formar resultados y, do conjunto dos números B (y ∈ B). Geralmente, é expressa em f(x), de maneira que a regra é ditada por uma expressão algébrica.

f (x) = x + 2
f(2) = 2 + 2 
f (2) = y = 4 

O domínio de uma função é o conjunto dos elementos que podem ser substituídos por x na regra matemática. No exemplo acima, qualquer valor de x pode ser admitido, alcançando sempre um y ∈ lR. 

Porém, se f(x) = 2/x, a incógnita x não poderá ser igual a 0 em nenhuma hipótese,  já que é impossível dividir por 0. Nesse caso, o domínio da função é representado por todos números reais, exceto 0. Conforme ditado em {x ∈ lR | x ≠ 0}. 

Já o contradomínio da função f(x) é o conjunto numérico que agrupa todos os resultados possíveis para a expressão, ou seja, todos os valores de y. Tomada uma função f(x)= √x, o valor de x não poderá ser negativo, afinal, não existe número que elevado ao quadrado resulte em um termo negativo. 

Para representar os conjuntos de domínio e contradomínio, pode ser utilizado um diagrama. Geralmente, admite-se que f: A → B, em que A é o domínio e B é o contradomínio, conforme demonstrado na figura a seguir. 

representação função injetora e sobrejetora
Imagem: Reprodução/Wikimedia

Outro conceito importante a ser debatido para a compreensão de função injetora e sobrejetora é a imagem (Im). A imagem da função é o conjunto de todos os resultados que podem ser obtidos em f(x), quando x ∈ A. 

Por exemplo, se definirmos que f(x) = x – 5, os valores possíveis para o domínio é x ∈ lR, assim como os elementos prováveis para y, y ∈ lR. 

Apesar disso, pode-se assumir que x ∈ C, com C = {x ∈ lN | 5 < x < 10}. Nesse sentido, embora o contradomínio seja o conjunto dos números reais, os resultados que podem ser encontrados com x ∈ A são a imagem da função. 

Em f(x) = x – 5, com x ∈ C, C = {x ∈ lN | 5 < x < 10}, pode-se afirmar que a imagem possível é dada por todos os valores de y nesta limitação de C:

f(x) = x – 5

f(6) = 6 – 5 = 1
f(7) = 7 – 5 = 2
f(8) = 8 – 5 = 3
f(9) = 9 – 5 = 4

Im: {1, 2, 3, 4}

Agora que já conhecemos os conceitos importantes para a classificação de funções, vamos desenvolver as definições de função injetora e sobrejetora, assim como a bijetora.

Função injetora

Uma função injetora é aquela em que os elementos do contradomínio correspondem à imagem da função. Isso significa que x ∈ A, resultando em y ∈ B, considerando que o par ordenado (x,y) respondem à f(x) = y.

Além disso, é necessário que, para cada valor x, o resultado y seja um elemento diferente do contradomínio. De forma geral, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio B, com Im ⊂ B. 

Na figura abaixo, isso é representado de maneira que nenhum elemento de y recebe mais de uma seta. Cada x se relaciona com apenas um y.

Função injetora
Imagem: Reprodução/Wikimedia

Função sobrejetora

Uma função é considerada sobrejetora quando pelo menos um dos elementos do contradomínio pode ser alcançado por diferentes x, pertencentes ao domínio. Por exemplo, se na função f(x), f(1) = 5 e, ao mesmo tempo, f(-7) = 5, significa que duas incógnitas resultam no mesmo valor de y, classificando a regra como sobrejetora.

função sobrejetora
Imagem: Reprodução/Wikimedia

Um modelo clássico de função sobrejetora são as expressões modulares, como em f(x) = |x|. Quando x = -1, y = 1. Ao mesmo tempo, se x = 1, y = 1. Isso significa que dois valores diferentes do domínio indicam o mesmo elemento do contradomínio, como é característico das funções sobrejetoras.

É importante mencionar que, nesse tipo de função, todo elemento do contradomínio corresponde à imagem de pelo menos um dos valores representados no conjunto domínio, ou seja, CD (f)

= Im (f).

No esquema, essas informações são sintetizadas da seguinte forma: o desenho que representa o conjunto contradomínio precisa que todos os elementos recebam flechas. Independentemente se um mesmo elemento receber mais que uma seta.

Função bijetora

Por fim, uma função é considerada bijetora quando atinge critérios de ambas as classificações anteriores, ou seja, todos os elementos do domínio resultam em valores diferentes de y, que estão dispostos e selecionados em todos os números do contradomínio. 

Função bijetora
Imagem: Reprodução/Wikimedia

A função representada acima é considerada sobrejetora, já que todos os elementos do contradomínio Y estão sendo apontados por alguma seta. Ao mesmo tempo, cada x se liga a apenas um elemento y, o que indica uma característica injetora. Quando esses dois aspectos aparecem juntos, considera-se que é uma função bijetora. 

Questão de vestibular sobre função injetora e sobrejetora

(Enem 2017 — PPL) No primeiro ano do Ensino Médio de uma escola, é hábito os alunos dançarem quadrilha na festa junina. Neste ano, há 12 meninas e 13 meninos na turma, e para a quadrilha foram formados 12 pares distintos, compostos por uma menina e um menino. Considere que as meninas sejam os elementos que compõem o conjunto A e os meninos, o conjunto B, de modo que os pares formados representem uma função f de A em B.

Com base nessas informações, a classificação do tipo de função que está presente nessa relação é

A) f é injetora, pois para cada menina pertencente ao conjunto A está associado um menino diferente pertencente ao conjunto B.

B) f é sobrejetora, pois cada par é formado por uma menina pertencente ao conjunto A e um menino pertencente ao conjunto B, sobrando um menino sem formar par.

C) f é injetora, pois duas meninas quaisquer pertencentes ao conjunto A formam par com um mesmo menino pertencente ao conjunto B, para envolver a totalidade de alunos da turma.

D) f é bijetora, pois dois meninos quaisquer pertencentes ao conjunto B formam par com uma mesma menina pertencente ao conjunto A.

E) f é sobrejetora, pois basta que uma menina do conjunto A forme par com dois meninos pertencentes ao conjunto B, assim nenhum menino ficará sem par.

O conjunto A é o domínio da função, enquanto B é o conjunto contradomínio. De fato, todos os elementos de A se relacionam com valores distintos de B, mesmo que sobre um menino sem par.

Em termos matemáticos, uma função só será sobrejetora quando nenhum elemento do contradomínio “sobrar” sozinho. Assim, as alternativas B e E estão eliminadas. No raciocínio semelhante, se a função não tem a característica sobrejetora, não pode ser classificada como bijetora, eliminando também a alternativa D. 

Nesse sentido, já sabemos que a função é injetora porque cada par (x,y) traz um x diferente com um valor de y diferente também. Como uma menina não pode dançar ao mesmo tempo com dois pares, a opção que melhor representa a resposta é a letra A.

+ Veja também: Função de Primeiro Grau: o que é e como aplicar em prova?
Função de Segundo Grau: o que é e como resolver questões

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