Grandezas e regra de três são dois assuntos da matemática que se relacionam, uma vez que quando as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais, os cálculos podem ser diferentes.
Além disso, um conhecimento bem consolidado sobre as grandezas permite a correta interpretação da regra de três, de forma a encontrar o valor correto, na unidade correta e, assim, resolver corretamente problemas matemáticos e questões de vestibulares.
Nos vestibulares nacionais, são dois temas frequentes, especialmente no Enem, que une ambos os conhecimentos na prova de Matemática e suas tecnologias, como também nas Ciências da Natureza. Para te ajudar na construção do raciocínio, este artigo resume grandezas e regra de três, e também traz exemplos de questões que cobram o tema. Leia mais e amplie seu conhecimento!
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O que são grandezas?
Grandezas são uma concepção das ciências exatas utilizadas para mensurar conceitos por meio de números ou expresso em valores geométricos. Isso possibilita fazer cálculos com quaisquer grandezas, conforme a necessidade.
Em geral, as grandezas são definidas a partir da união entre os conceitos da Física e da Matemática, como aceleração, velocidade, comprimento, altura, massa, força, tempo, área, volume, entre outras.
Unidades de medida e Sistema Internacional de Medidas
Uma vez que foram definidas grandezas para mensurar diferentes conceitos e elementos do cotidiano, é importante que elas sejam quantificadas em uma unidade de medida, como metro, quilograma, segundos e assim por diante.
Por exemplo, o tempo é uma grandeza única que pode ser expresso em milissegundos, segundos, minutos, horas, dias, semanas, meses, anos, décadas, séculos e milênios, entre outras unidades.
Diante dessa variedade de unidades para expressar a mesma medida, a comunidade científica observou que seria importante padronizar uma unidade para cada grandeza, pelo menos para os cálculos utilizados em métodos científicos.
Assim nasceu o Sistema Internacional de Medidas (SI), cuja padronização está demonstrada na tabela abaixo e, geralmente, os vestibulares nacionais seguem essas unidades para a construção das fórmulas físicas e matemáticas.
+ Veja mais: Unidades de medida: principais grandezas e usos
Ordem de grandeza: conheça os conceitos e a notação científica
O que é regra de três?
Regra dehttps://vestibulares.estrategia.com/portal/materias/matematica/regra-de-tres/ três é um tipo de cálculo que relaciona grandezas e unidades, para encontrar um valor desconhecido. É possível que seja grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais, da seguinte maneira:
Grandezas diretamente proporcionais
Diretamente proporcionais são grandezas que se acompanham, se uma aumentar, a outra também aumentará. No caso do decréscimo, ambas serão reduzidas. Um exemplo clássico está na compra de produtos, sem descontos ou acréscimos: à medida em que mais produtos são adicionados, maior será o custo final.
1 maçã — 5 reais
10 maçãs — w reais
Nesse caso a regra de três será realizada por meio da multiplicação em cruz dos fatores da relação:
Com grandezas inversamente proporcionais
Do lado oposto estão as grandezas inversamente proporcionais, nesse caso, à medida que uma grandeza da relação aumenta, a outra diminui. O modelo mais tradicional é a associação entre velocidade e tempo, à medida que a velocidade aumenta, o tempo de trajeto reduz.
50 km/h — 2 horas
100 km/h — y horas
Para a resolução, é necessário transformar essa relação em frações, inverter uma delas e, então, fazer a multiplicação cruzada, como exemplificado abaixo:
Regra de três composta
A regra de três é chamada de composta quando possui mais de duas grandezas para a relação. A resolução segue a mesma ideia do que foi visto anteriormente: isola-se a fração que contém a incógnita e multiplica-se as outras. As inversamente proporcionais serão invertidas, à semelhança do vimos anteriormente.
Veja um exemplo de regra de três composta com grandezas diretamente proporcionais:
| 30 | 10 | 8 |
| x | 4 | 6 |
Conversão de unidades
O conhecimento sobre o SI é importante para resolver problemas em que as grandezas são fornecidas com unidades não padronizadas. Assim, depende do estudante converter as unidades para aquelas aceitas no Sistema Internacional.
Algumas grandezas possuem truques específicos para realizar a conversão de forma rápida, veja um exemplo para mensurar comprimentos:
A imagem faz a relação entre o metro e outras subunidades que mensuram comprimento como quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam), decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Nessa outra imagem, abaixo, mostra-se uma conversão simples para a grandeza velocidade. Muitas vezes, ela é fornecida nos enunciados em km/h. Entretanto, para a padronização no SI, o correto é utilizar m/s.
Por fim, a forma mais completa de realizar a conversão de unidades dentro da mesma grandeza é por meio da regra de três, como será exemplificado a seguir, na resolução de uma questão do Enem 2020.
Enem (2020)
Uma torneira está gotejando água em um balde com capacidade de 18 litros. No instante atual, o balde se encontra com ocupação de 50% de sua capacidade. A cada segundo caem 5 gotas de água da torneira, e uma gota é formada, em média, por 5 × 10⁻² mL de água.
Quanto tempo, em hora, será necessário para encher completamente o balde, partindo do instante atual?
A) 2 × 10¹
B) 1 × 10¹
C) 2 × 10⁻²
D) × 10⁻²
E) 1 × 10⁻³
Nessa questão duas grandezas são trabalhadas: tempo e volume. O primeiro passo é fazer uma relação entre o mililitros e litros (1 L = 1000 mL), para chegar a conclusão de que 18 L = 18 000 mL. Entretanto, como o balde já está repleto em 50%, apenas 18/2 = 9L são necessários para completá-lo. A partir disso, faz-se a relação entre o número de gotas e o volume do balde a ser preenchido:
1 gota — 5.10-2 mL
x gotas — 9.103 mL
x.5.10-2 = 9.103
x = 1,8.103.102
x = 1,8.103.102
x = 1,8.105 gotas
Depois, relacionamos o número de gotas com o tempo. Note que a cada segundo caem 5 gotas da torneira, com o volume já estudado nos cálculos anteriores.
5 gotas — 1 segundo
1,8.105 gotas — x segundos
x.5 = 1,8.105
x = 0,36.105
x = 3,6.104 segundos
Por fim, é necessário converter esse segundos em horas, então utiliza-se a relação 1 hora = 60 minutos = 3600 segundos:
1 hora — 3600 segundos
z horas — 3,6.104 segundos
3600.z = 3,6.104
3,6.103.z = 3,6.104
103.z = 104
z = 1.101
Alternativa correta: B
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