Razão e proporção estão presentes na maior parte das atividades cotidianas. As escalas dos mapas, os GPS, os desenhos de moda, as plantas de moradias, os gráficos de jogos em computadores e televisão e muitas outras utilidades do dia a dia precisam desse conceito matemático para serem construídos.
É por meio da razão e proporção que as imagens não ficam distorcidas, seja durante o desenho de um personagem, um croqui, uma representação cartográfica e etc. Além disso, é possível utilizá-las para desenvolver receitas, seja para fazer mais ou menos porções. Assim como o tema pode ser útil na resolução de problemas químicos e matemáticos, em geral.
Note que razão e proporção são assuntos de extrema importância e utilidade no cotidiano e, por isso, muitos vestibulares costumam cobrá-los. Para te ajudar com isso, a Coruja desenvolveu o artigo a seguir, que traz um resumo sobre os dois temas, com a relação entre eles, além de mostrar aplicações práticas deles na resolução de questões de prova. Leia mais!
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O que é razão e proporção?
Razão
Resumidamente, uma razão é uma divisão de valores, uma fração entre duas grandezas matemáticas. O resultado obtido é conhecido como a razão entre elas, como em: a razão entre 6 e 3 é 2, já que 6/3 =2.
Uma razão sempre acontece em relação à mesma unidade, por exemplo, a cada 18 colheres de água, adiciona-se 3 colheres de açúcar. Note que, embora os ingredientes sejam diferentes, ambos estão sendo medidos pela unidade “colher”. Assim, é possível estabelecer uma relação racional (18/3 = 6), que pode ser interpretada como: para cada 6 medidas de água, é necessária 1 medida de açúcar.
Razão = A/B
A e B são diferentes de zero e estão na mesma unidade de medida
Essa fórmula também pode ser descrita como Razão = A:B. E, a leitura extensa desse cálculo é A está para B. Ou seja, é diferente do que vemos em fração. Isso indica que 5/8 é uma razão de “5 para 8”, enquanto seria uma fração de “cinco oitavos”.
Existem algumas propriedades importantes em termos de razão. Por exemplo, sempre que o valor do denominador (representado por B na fórmula acima) for igual a 100, significa que há A valores a cada 100 unidades.
Basicamente, esse é o conceito de porcentagem. Ou seja, quantas unidades estão presentes a cada cento. Por isso, as razões em que é B=100, são chamadas de porcentagens, percentagens ou percentuais.
Proporção
No caso da proporção, trata-se de uma igualdade entre duas razões diferentes. Ou seja, quando duas frações encontram o mesmo resultado, tratam-se de razões proporcionais. Por exemplo, há uma proporção entre a razão de 6 e 3 e a razão de 8 e 4, uma vez que 6/3 = 2 = 8/4.
Proporção = A/B = C/D
A, B, C e D são diferentes de zero
Outra forma de representação é dada por:
Proporção = A:B = C:D
E a leitura extensa dessa proporção é “A está para B, assim como C está para D”, o que demonstra a igualdade entre essas razões.
+ Veja também: Regra de três simples e composta: veja como calcular
Propriedades da proporção
Considera-se que os termos A e D são os extremos de uma proporção, enquanto que B e C são os termos de meio. Com essa informação, aprenda sobre as propriedades da proporção.
Produtos e proporções
O produto de A e D é igual ao produto de C e B.
A.D = B.C
Para facilitar, você pode fazer um X em cima do sinal de igualdade, o que indica quais serão os fatores da multiplicação, como você observa na imagem abaixo.
Mudança de posições
Caso você troque os extremos de posição entre si, a proporção mantém-se verdadeira.
A/B = C/D
D/B = C/A
Aplicação prática: 15/5 = 9/3
3/5 = 9/15 (perceba que a simplificação de 9/15 é 3/5, ou seja, a proporção é real)
Da mesma forma, é possível alternar a localização dos termos de meio (B e C), sem que a proporção deixe de existir. Embora o resultado seja diferente, a relação proporcional se mantém.
A/B = C/D
A/C = B/D
Aplicação prática: 15/5 = 9/3
3/9 = 5/15
Simplificando 3/9 = 1/3 e, ao simplificar 5/15 = 1/3. Ou seja, a relação proporcional se manteve após a troca dos meios.
Inversão das razões
Se, nas duas razões, o denominador for colocado no lugar do numerador e o numerador no lugar do denominador, a proporção entre os valores continuará válida.
A/B = C/D
B/A = D/C
Aplicação prática: 35/7 = 45/9
7/35 = 9/45
A fração reduzida de 7/35 é 1/5, e a redução de 9/45=1/5. Prova-se, portanto, que a proporção se manteve.
+ Veja mais: Fórmulas matemáticas: principais fórmulas que aparecem no vestibular
Questões de razão e proporção
(Enem 2020) Uma empresa de ônibus utiliza um sistema de vendas de passagens que fornece a imagem de todos os assentos do ônibus, diferenciando os assentos já vendidos, por uma cor mais escura, dos assentos ainda disponíveis. A empresa monitora, permanentemente, o número de assentos já vendidos e compara-o com o número total de assentos do ônibus para avaliar a necessidade de alocação de veículos extras.
Na imagem tem-se a informação dos assentos já vendidos e dos assentos ainda disponíveis em um determinado instante.
A razão entre o número de assentos já vendidos e o total de assentos desse ônibus, no instante considerado na imagem, é
a) 16/42
b) 16/26
c) 26/42
d) 42/26
e) 42/16
O exercício pede a razão entre o número de assentos vendidos e o número total de assentos. Então, é necessário contar quantas cadeiras já estão reservadas, que são 16. O número total é dado pela numeração encontrada, que é 42.
A fração deve ser montada na ordem em que foi apresentada no enunciado, ou seja:
Ass. vendidos/ Ass. totais
16/42 → alternativa A.
(Enem PPL 2020) Após o término das inscrições de um concurso, cujo número de vagas é fixo, foi divulgado que a razão entre o número de candidatos e o número de vagas, nesta ordem, era igual a 300. Entretanto, as inscrições foram prorrogadas, inscrevendo-se mais 4.000 candidatos, fazendo com que a razão anteriormente referida passasse a ser igual a 400. Todos os candidatos inscritos fizeram a prova, e o total de candidatos aprovados foi igual à quantidade de vagas. Os demais candidatos foram reprovados.
Nessas condições, quantos foram os candidatos reprovados?
a) 11 960
b) 11 970
c) 15 960
d) 15 970
e) 19 960
Essa questão traz uma razão entre duas grandezas, mas com uma resolução mais elaborada, que suscita mais equações e cálculos. O primeiro passo é entender a primeira fração apresentada:
número de candidatos iniciais / número de vagas = 300
Com a prorrogação das inscrições, 4000 candidatos se somam aos candidatos iniciais, de forma que a razão será:
número de candidatos finais / número de vagas = 400
número de candidatos finais = número de candidatos iniciais + 4000
número de candidatos iniciais + 4000 / número de vagas = 400
O primeiro passo é descobrir o número de vagas:
número de vagas = v
candidatos iniciais = c
c/v = 300
(equação I) c = 300v
c + 4000 / v = 400
(equação II) c + 4000 = 400v
Vamos substituir a equação I na II:
300v + 4000 = 400v
4000 = 100v
v = 40
Agora, vamos encontrar o número de candidatos iniciais:
c/v = 300
c/40 = 300
c = 12000
O total de candidatos é dado por 12000 + 4000 = 16000. Desses, apenas o número de vagas foi preenchido (40). Ou seja, o número de reprovados é tal que 16000 – 40 = 15960, como a alternativa C indica.
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