As inequações são os cálculos da matemática que permitem comparar valores, ou seja, entender se um é maior ou menor que o outro. Elas são construídas com uma incógnita, que deve ser encontrada após as contas.
Acompanhe agora um resumo com a definição e exemplos do assunto. Você também verá o desenvolvimento de uma resolução de exercícios sobre as inequações, com a correta interpretação do resultado para as questões de vestibulares.
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O que é uma inequação?
Inequações são desigualdades matemáticas, ou seja, expressões matemáticas nas quais um lado não é igual ao outro. Afinal, são cálculos comparativos, que relacionam números diferentes para dizer se são maiores ou menores entre si. Para isso, são utilizados os símbolos: maiores que (>), maior ou igual a (≥), menor que (<), ou menor ou igual a (≤).
4x > 5 → Essa desigualdade indica que a incógnita da equação multiplicada por 4 é maior do que 5.
x ≤ 10 → Nesse caso, o valor de x é sempre menor ou igual a 10.
Para decorar o funcionamento dos símbolos das desigualdades, existem alguns truques. O primeiro deles é lembrar que o lado em que a setinha está aberta é sempre maior, os valores para onde a seta aponta é o que tem menor valor.
Além disso, procure ler a inequação sempre no sentido da esquerda para direita, para relacionar os valores de uma forma padronizada e não se confundir ao longo do tempo.
x + 12 > 15 (maior que)
x2 + 4x – 2 < 25 (menor que)
z.4 + 5x4 ≥ 32 (maior ou igual que)
4y ≤ 95 (menor ou igual que)
Depois, você pode sempre fazer um risquinho na parte inferior no símbolo, como mostra a imagem acima.
- Se a seta tornou-se em um 7, é o símbolo de maior que; e
- Se a seta parece com um 4, temos o símbolo de menor que.
Intervalo real e inequações
A resolução das inequações fornece um intervalo real de valores em que as incógnitas podem estar dispostas. Isso indica que dentro dessa variação de números, qualquer um dos valores pode ser substituído por x, de maneira que a expressão se confirme. Confira o exemplo:
x + 12 > 15
x > 3
Com a resposta (x>3), entendemos que qualquer valor real maior que 3 pode ser adicionado à inequação de maneira que essa seja verdadeira. Vamos testar?
- Se x = 4
x + 12 > 15
4 + 12 > 15
16 > 15 → verdadeiro, porque 16 é maior que 15; - Se x = 100
x + 12 > 15
100 + 12 > 15
112 > 15 → verdadeiro, porque 112 é maior que 15; - Se tentarmos colocar um valor menor que 3, a inequação não se conclui:
x + 12 > 15
2 + 12 > 15
14 > 15 → falso, porque 14 não é maior que 15.
Uma forma de representar os resultados das inequações é por meio de retas. Nessas retas, estão dispostos todos os números reais. Diante dela, é possível delimitar o valor de x.
Considere a imagem acima, que representa a reta dos números reais. A delimitação de valores é maior do que a (x>a). Observe, ainda, que o ponto que representa “a” não está pintado. Isso significa que o “a” não pode não estar no intervalo de resposta.
Nesse caso, entretanto, o ponto “a” está preenchido/pintado. Então, ele está incluso entre as possibilidades de valor de x, ou seja, a incógnita é menor ou igual a a (x≤a).
Nessa outra situação, os valores de x devem estar entre a e b. No entanto, somente o ponto que representa b está pintado, então, x pode ser x=b. A representação matemática depende dos símbolos de inequação, uma vez que: x é maior que a e menor ou igual a b: a < x ≤ b.
Inequações do primeiro grau
Assim como acontece com as equações do primeiro grau, as inequações de primeiro grau são aquelas em que a incógnita tem seu maior expoente na expressão igual a 1 (grau 1). Ela pode se representada por:
ax + b > c
ax + b < c
ax + b ≥ c
ax + b ≤ c
a e b são coeficientes reais
a ≠ 0
A resolução da inequação de primeiro grau segue os mesmos procedimentos de uma expressão algébrica normal: jogo de sinais, operações simples e etc. Apesar disso, quando a incógnita está negativa, é importante multiplicar todo o cálculo por -1 e inverter o sinal de desigualdade (trocar < por > ou trocar > por <).
x + 3 > – x – 1
3 + 1 > – x – x
4 > -2x
Como a incógnita está com um coeficiente negativo, é necessário multiplicar a expressão por -1 e trocar o sinal de maior que (>) por menor que (<).
4 > -2x (.-1)
-4 < 2x
-4/2 < x
-2 < x
Perceba que, na notação acima, a resposta ficaria “-2 é menor do que x”. Para facilitar a leitura, você pode colocar o x do lado esquerdo, da seguinte forma: x > -2.
Inequações do segundo grau
Como pressupõe o nome, as inequações de segundo grau possuem incógnitas com o maior expoente possível igual a 2. Como mostram os exemplos abaixo:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c ≤ 0
Assim como no caso anterior, o desenvolvimento dos cálculos das inequações do segundo grau segue o mesmo padrão da álgebra comum. Entretanto, a determinação do intervalo que marca a resolução pode ser feita, muitas vezes, com o auxílio de gráficos do plano cartesiano.
Acompanhe, agora, o desenvolvimento do raciocínio.
Dada a inequação 2x2 – 8x – 10 < 0, quais são os valores de x que tornam essa afirmação verdadeira?
O enunciado pergunta quais são os valores que satisfazem a expressão, ou seja, quando é que 2x2 – 8x – 10 é menor do zero.
O primeiro passo para resolver o problema, como vimos, é concluir a conta em forma de equação normalmente. Então, vamos encontrar os valores para os quais a expressão é igual a zero — suas raízes.
2x2 – 8x – 10 = 0
soma x1 + x2 = – (-8) / 2
x1 + x2 = 8 / 2
x1 + x2 = 4
produto x1.x2 = -10/2
x1.x2 = -5
Os valores que resultam em 4 quando somados e -5 quando multiplicados serão: x1 = 5 e x2 = -1:
soma 5 + (-1) = 4
produto 5.(-1)= -5
Com essas informações em mãos, sabemos exatamente em que ponto do plano cartesiano o gráfico toca o eixo x. Afinal, quando x1 ou x2 for adicionado na equação, ela torna-se igual a zero.
Entendemos também que o traçado dessa inequação é uma parábola, visto que está no segundo grau. A partir disso, observamos que o coeficiente do x2 é um número positivo, o que indica que a “boca da parábola” está voltada para cima.
Concluindo essas considerações, podemos traçar um esboço para o gráfico, tal que:
Agora podemos marcar quais são as áreas do gráfico em que o valor do y é positivo e em quais momentos, a equação se torna negativa.
Perceba que temos três diferentes regiões marcadas:
- todos os valores menores do que -1 tem um resultado y positivo;
- todos os valores entre -1 e 5 estão na porção negativa das ordenadas cartesianas; e
- os valores maiores do que 5 são positivos.
De forma que, podemos descrever as seguintes afirmações:
- Se x<-1 ou x>5, então 2x2 – 8x – 10 >0;
- Se x=-1 ou x=5, a equação é 2x2 – 8x – 10 = 0; e
- Se -1<x<5, teremos que 2x2 – 8x – 10 < 0.
Conclui-se, portanto, que, para 2x2 – 8x – 10 < 0 ser verdadeiro, o intervalo real deve ser -1<x<5.
Inequações modulares
Módulos são uma ferramenta matemática para representar o valor absoluto de um número, sua distância numérica até a origem da reta. Ou seja, para |x|, independente se x é negativo ou positivo, seu valor modular será positivo.
|x| = x
|-x| = x
Em uma inequação modular, é necessário que haja pelo menos uma incógnita dentro do módulo. O objetivo será encontrar o conjunto de respostas que tornam aquela inequação verdadeira.
|x| < 8
Nesse caso, os valores de x podem ser:
- x > 0 (positivo), de forma que x < 8. Esse é um dos possíveis valores para x;
- x < 0 (negativo), de forma que -x < 8. Seguindo a regra apresentada para incógnitas negativas, basta inverter o símbolo e multiplicar por -1 (x > -8).
Inequações exponenciais
Nas inequações exponenciais, a incógnita está no expoente de algum valor. A resolução segue o mesmo princípio das equações exponenciais, ou seja, é necessário encontrar os valores de x que tornem a expressão matemática verdadeira.
5x > 125
Primeiramente, é preciso encontrar 5x = 125 ⇒ x = 3. Na inequação, é necessário encontrar os valores de x que tornam 5x maior que 125. Conforme vimos, toda vez que x for maior que 3, o resultado da potenciação será maior que 125, então a resolução é: x>3.
Inequação logarítmica
Os logaritmos são a operação oposta da exponenciação, de forma que a resolução segue o mesmo raciocínio. Inclusive, é necessário levar em consideração as propriedades logarítmicas, para que o cálculo se desenvolva corretamente.
Algumas regras devem ser consideradas:
- Se a desigualdade ocorre entre um logaritmo e um número real, utiliza-se a lei básica dos logaritmos:
logab>x
b > ax - Quando a desigualdade logarítmica tiver logaritmos de mesma base, em que a base é maior do que 1, então é possível manter a inequação apenas entre os logaritmandos.
loga b > log a c → b > c
log2 4 < x
4 < 2x
22 < 2x
Como as bases da potência são iguais, basta realizar os cálculos com os expoentes:
2< x
Inequação produto
Inequações produtos são aquelas em que, pelo menos um lado contém uma multiplicação entre expressões algébricas. Nesse caso, é importante que cada expressão seja estudada conforme seus sinais.
(x+4)(x-1) > 0
Para x+4:
- quando x>-4, a expressão terá resultado positivo;
- se x<-4, a expressão é negativa.
Para x-1:
- quando x>1, resposta positiva;
- se x<1, a expressão é negativa.
O próximo passo é utilizar o jogo de sinais da multiplicação e descobrir quais são as situações em que a inequação é positiva. Primeiramente, determinamos quando cada expressão algébrica será positiva ou negativa, em uma reta real.
Depois, basta entender que, quando ambas possuírem sinal igual, a inequação é positiva. Quando uma é negativa e outra positiva, a inequação será negativa.
Dessa forma, os valores de x que tornam a inequação produto positiva, nesse caso é: x<-4 ou x>1.
Inequação quociente
A inequação quociente ocorre quando duas expressões algébricas aparecem: uma no denominador e outra no numerador. Novamente, é necessário estudar o sinal de cada uma delas.
Assim:
- x-7 é positiva se x>7 e negativa quando x<7;
- Da mesma forma que x+2 é positiva quando x>-2, e negativa se x<-2.
De forma semelhante ao que vimos anteriormente, foi criada a tabela com o jogo de sinais conforme o intervalo de valores. A solução da inequação será: x<-2 ou x>7.
Inequação irracional
A inequação irracional parte do conjunto dos números irracionais para criar a desigualdade. Geralmente, resultam em cálculos complexos e não costumam aparecer em vestibulares. Veja um exemplo abaixo.
√( 2x² – 5x – 3 ) < x + 3
Inequação trigonométrica
Nas inequações trigonométricas, é preciso que haja pelo menos uma razão trigonométrica de um ângulo desconhecido. Nesse caso, os ângulos são preferencialmente descritos em radianos que é uma conversão dos graus em um número real, em que π = 180°.
A resolução das inequações trigonométricas depende do conhecimento do ciclo trigonométrico, a relação entre os ângulos, fórmulas de seno, cosseno e tangente, entre outros conhecimentos sobre arcos de ângulos.
Por exemplo, a inequação Sen x < 1/2 em que 90° < x < 0°.
Para resolver, é necessário encontrar o valor de 1/2 no ciclo trigonométrico. Lembre- se que o seno é representado no eixo y do plano cartesiano, conforme mostra a imagem a seguir.
A inequação pede todos os valores de ângulo em que o seno é menor que 1/2.
Primeiro, é preciso definir sen x = 1/2. Com os conhecimentos necessários, entende-se que x = 30° = π/6.
Conforme mostrado na imagem acima, todos os ângulos menores do que 30° possuem seno menor que ½ (para baixo do ponto no eixo y). Assim a resolução da equação é dada por x < π/6. Note que o cálculo considerou apenas o primeiro quadrante, pois essa foi a delimitação imposta pela inequação.
Sistema de inequações
Os sistemas de inequações são um conjunto de duas ou mais inequações, que possuem a mesma incógnita. O objetivo do cálculo é encontrar os valores de x que tornem todos os cálculos verdadeiros ao mesmo tempo. Por exemplo considere o sistema:
Primeiramente, desenvolve-se uma das inequações:
x – 1 < 9
x < 9 + 1
x < 10
Isso significa que a solução do cálculo só inclui valores menores do que 10. Depois, seguimos para a próxima inequação:
x + 2 > 0
x > -2
Ou seja, x sempre será maior do que -2.
Agora, criamos o conjunto solução do sistema, unindo ambos os resultados. De forma que -2 < x < 10.
Questões de prova
UNIR 2010
Uma lebre convidou uma tartaruga para uma corrida de 30 metros. A tartaruga, desconfiada, pediu para sair alguns metros à frente, pois, enquanto a lebre corre 2 metros, a tartaruga corre apenas 10 centímetros. Para a tartaruga ganhar a corrida, nessas condições, ela deverá sair, no mínimo, com uma vantagem maior que
a) 28 m
b) 27 m
c) 29 m
d) 25,5 m
e) 28,5 m
Para a tartaruga alcançar a lebre e vencer a corrida, ela deve percorrer os 30 metros e chegar ao final antes da lebre. De maneira que é possível traçar a equação:
x + 0,1.t > 2.t
Em que x representa os metros de vantagem da tartaruga e t é o tempo de corrida.
Se a lebre corre 2 metros por unidade de tempo e a distância percorrida é de 30 metros, teremos que:
2.t = 30
t = 15
Assim, continuamos a resolução da inequação:
x + 0,1.15 > 2.15
x + 1,5 > 30
x > 30 – 1,5
x > 28,5m
Então, a tartaruga só teria chances de ganhar a corrida se sua vantagem fosse de 28,5m ou mais em relação a posição da lebre no início da competição, como mostra a alternativa E.
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