Na matemática, as operações aritméticas sempre apresentam uma operação oposta. Por exemplo, a soma é o inverso da subtração e a multiplicação é oposta à divisão. Por sua vez, os logaritmos são o contrário da exponenciação.
No artigo abaixo, você entenderá melhor qual a definição de um logaritmo e como se dá o desenvolvimento dos cálculos. Veja também um resumo das propriedades e como elas são cobradas nas provas. Acompanhe agora!
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O que são logaritmos?
Os logaritmos são ferramentas matemáticas que se relacionam intimamente com a exponenciação e potenciação dos números. A representação da função logarítmica considera uma base e um logaritmando, como mostra a figura:
Observe a igualdade apresentada no lado direito da figura: a base elevada ao valor logaritmo, fornece o logaritmando (ax=b).
Para que a afirmação anterior seja verdadeira, é necessário que b>0, uma vez que todo número real, quando elevado a x, não pode resultar em 0 (ax>0). Além disso, a base deve ser positiva e diferente de um (a>0 e a≠1), visto que 1x=1.
Logaritmo decimal
Em termos práticos, você pode imaginar o logaritmo como uma pergunta: “a que potência a base ‘a’ precisa ser elevada para que ‘b’ seja igual a ela?” (ax=b)
Veja um exemplo:
log10 100 = x
A que potência o número 10 (base) precisa ser elevado para que seja igual a 100 (logaritmando)?
10x. = 100
10.10 = 100
102=100
x=2
Por definição, quando o log aparece sem a base no canto inferior direito, entende-se que a base = 10. Nesse caso, trata-se de um logaritmo decimal. Por exemplo:
log 10000 = log10 10000
Logaritmo neperiano (log e)
Como o sistema numérico ocidental é decimal, é muito comum que o log apareça na base 10. Mas outro valor de grande importância para a resolução de equações logarítmicas é o número de euler (e), que é aproximadamente igual a 2,718281…
A representação do logaritmo neperiano pode aparecer, também, como ln.
Saiba portanto que:
log e z = ln z
Como calcular logaritmos?
A partir da expressão log4 256 = y, você deve adicionar a pergunta base do cálculo logarítmico “Qual o valor de y para que 4y = 256?”. Com isso, você pode fatorar o número 256 com números primos, até que o resultado das divisões seja igual a 1. Assim:
Observe que, com a fatoração adequada, obtém-se que o logaritmo de 256 na base 4 é igual a 4 (log4 256 = y → y=4) , já que 44 = 256.
Propriedades dos logaritmos
No estudo dos logaritmos, foi percebido certos padrões que se repetem continuamente. Quando observados junto às regras da potenciação, notou-se que a equação logarítmica possui algumas propriedades, que serão abordadas nos tópicos a seguir.
Logaritmando igual a base
loga a = x
Nesse caso, com a simples descrição do cálculo observa-se que x=1:
ax = a
Como, das regras de exponenciação, todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo, podemos deduzir que quando o logaritmando é igual a base, o valor do logaritmo é 1.
Logaritmando igual a 1
loga 1 = x
Se o logaritmando é igual a 1, o valor do logaritmo é 0, independentemente da base. Isso acontece porque todo número elevado a 0 é igual a um.
ax = 1 → x = 0
Igualdade de logaritmos de mesma base
loga b = loga c
Para que dois logaritmos de mesma base sejam iguais, é necessário que seus logaritmandos sejam exatamente os mesmos. No exemplo acima, a proposição só é verdadeira se b = c.
Logaritmo como expoente
Observe, na imagem, que quando um número a é elevado a um logaritmo de base a, o resultado dessa potenciação será igual ao logaritmando do expoente, como demonstra a justificativa (marcada em vermelho).
Logaritmando é uma multiplicação
log a D.E = loga D + loga E
Uma das mais importantes propriedades logarítmicas, a expressão acima mostra que, quando o logaritmando é uma multiplicação, é possível separar cada um dos fatores. Para isso, utilizam-se logaritmos de mesma base inicial somados.
Veja uma aplicação prática. Sabendo que log 2 = 0,3, qual o valor de y na equação abaixo?
log 160 = y
log 16 . 10 = y
log 2.2.2.2.10 = y
log 2 + log 2 + log 2 + log 2 + log 10 = y
0,3 + 0,3 + 0,3 + 0,3 + 1 = y
y = 2,2
Lembre-se, log 10 = 1 porque a base é igual ao logaritmando, como vimos acima.
Logaritmando é uma divisão
log a (D/E) = loga D – loga E
No extremo oposto da propriedade anterior, e tão importante quanto ela, está a regra que dita como resolver uma equação em que o logaritmando pode ser fracionado, como mostra o exemplo acima.
Logaritmando com expoente
log ak = k . log a
Quando o logaritmando possui um expoente, teremos a conhecida “regra do tombo”. Isso significa que você pode multiplicar o logaritmo pela potência k, como descreveu a equação anterior.
Mudança de base
É possível trocar a base de um logaritmo quando observada a fórmula abaixo:
log b c = log a c / log a b
Você deve adicionar logaritmos da base desejada no denominador e no divisor da fração. Depois, a base “original” (b) vira logaritmando da parte de baixo, e o logaritmando “original” (c) fica na parte de cima.
Questões sobre logaritmos
Perceba que os logaritmos são essenciais para a resolução de questões exponenciais tanto quanto para as funções logarítmicas. No Enem, geralmente, aparecem questões que necessitam dessa ferramenta para serem resolvidas. Acompanhe o raciocínio abaixo:
(UDESC 2008)
Se loga b = 3 e logab c = 4, então loga c é:
A) 12
B) 16
C) 24
D) 8
E) 6
Podemos manipular cada uma das expressões fornecidas:
loga b = 3
a3 = b
logab c = 4
(ab)4 = c
(a.a3)4 = c
(a4)4 = c
a16 = c
loga c = x
ax = c
x = 16 (letra B)
+ Veja também: Intervalos reais: o que são e como representar
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