Os quadriláteros notáveis são vistos em diversos problemas que envolvem geometria plana ou espacial e que pedem o uso de propriedades específicas desses tipos de figuras. Confira a seguir mais sobre o tema.
Navegue pelo conteúdo
Definindo o que é um quadrilátero
Quadriláteros são polígonos que apresentam somente 4 lados, essas figuras geométricas são formadas por segmentos de retas que se cruzam somente nas extremidades.
Os quadriláteros são formados por 4 vértices, 4 lados e possui 4 ângulos internos que somam 360° — caso todos os ângulos internos sejam menores que 180° é um quadrilátero convexo, se pelo menos um dos ângulos for maior que 180° é um quadrilátero côncavo. Além disso, tem 2 diagonais — segmentos que ligam vértices não consecutivos.
Quadriláteros notáveis
São as propriedades exclusivas, as simetrias de cada tipo de figura e as aplicações práticas que tornam esses quadriláteros “notáveis”. Tais características e propriedades garantem uma forma de simplificar os problemas que envolvem geometria. Veja quais são os quadriláteros notáveis:
Trapézio
É uma figura geométrica de quatro lados e que apresenta pelo menos um par de lados paralelos, que são as bases (base maior e base menor), e os outros dois lados não paralelos.
Temos ainda a altura do trapézio, que é a distância entre as bases, duas diagonais e os ângulos internos. A classificação do tipo de trapézio varia de acordo com os ângulos internos da figura, as classificações são as seguintes:
- Trapézio Isósceles — quando os lados não paralelos são congruentes (têm mesmo comprimento), então os ângulos das bases são iguais, e as diagonais também são congruentes;
- Trapézio Retângulo — possui um dos lados não paralelos perpendicular às bases, formando dois ângulos retos (90°); e
- Trapézio Escaleno — tem os lados não paralelos diferentes, logo os ângulos internos são distintos.
A Mediana de Euler, ou base média, é o segmento paralelo às bases que une os pontos médios dos lados não paralelos do trapézio. Funciona como uma base intermediária entre a base maior e a base menor e é dada pela média entre as duas bases (M = B + b /2)
Paralelogramos
São quadriláteros que possuem dois pares de lados paralelos e congruentes, ou seja, os lados opostos têm o mesmo comprimento. Essas características definem suas propriedades geométricas.
Seus ângulos internos somam 360°, sendo que, ângulos consecutivos são suplementares (somam 180°) e os ângulos opostos são congruentes (têm mesma medida).
Quanto às suas diagonais, elas cortam-se no ponto médio, ou seja, dividem-se ao meio e pela lei dos cossenos tem medida d1=a2+b2- ab*cos(A) e d2=a2+b2+ ab*cos(A)
Retângulos
Os retângulos são um tipo especial de paralelogramo, portanto, igual os paralelogramos, possui dois pares de lados congruentes. Em consequência disso, eles apresentam lados opostos paralelos e congruentes.
A condição que o torna um tipo especial é que todos os seus quatro ângulos internos são ângulos retos (90°), fazendo com que apresente simetria nas linhas mediais vertical e horizontal.
Diferente de um paralelogramo qualquer, os retângulos terão as diagonais congruentes, devido aos lados adjacentes serem perpendiculares. Ainda segue a propriedade que as diagonais cortam-se no ponto médio.
Losangos
Os losangos são mais um tipo especial de paralelogramo, logo ele também herda as características gerais dos paralelogramos, o que vai diferenciá-lo é que ele possui os quatro lados congruentes.
Esse tipo de quadrilátero, pode ser mais achatado ou esticado, mas mantém os lados iguais, fazendo com que os ângulos opostos sejam congruentes.
Suas diagonais são perpendiculares entre si (cruzam-se formando 90°) e cortam-se no ponto médio. Elas ainda atuam com bissetriz dos ângulos internos (dividem eles ao meio).
Quadrado
O quadrado é um polígono regular de quatro lados (quadrilátero), por possuir dois pares de lados paralelos e congruentes é um paralelogramo, mas, como também tem os quatro lados iguais e os quatro ângulos internos são retos, o quadrado pertence aos dois tipos especiais de paralelogramo, os losangos e os retângulos.
Por pertencer a essas classificações, ele herda as características dos retângulos, losangos e paralelogramos, assim como o fato de suas diagonais serem congruentes, perpendiculares, serem bissetriz e cortarem-se no ponto médio.
Hierarquização dos quadriláteros notáveis
As propriedades dos quadriláteros vão se somando conforme algumas características a mais são impostas nas figuras. A imagem a seguir mostra um diagrama das relações entre as figuras:
Como pode-se observar, os quadrados são retângulos e losangos, retângulos e losangos são paralelogramos, que por sua vez é um tipo de trapézio. Conforme vamos descendo no diagrama, as características dos quadriláteros são herdadas.
Perímetros e Áreas
Verifica-se a seguir as fórmulas das áreas e dos perímetros de cada quadrilátero notável:
Trapézio
O perímetro do trapézio dado por: P = B+b+c+d, onde B e b são as bases maior e menor, respectivamente, e c e d os lados não paralelos.
A área é: A=(B+b)*h2, onde h é a distância entre as bases. No trapézio retângulo, a altura coincide com um dos lados da figura e nos outros trapézio é possível calcular a altura usando o teorema de Pitágoras.
Paralelogramo
O perímetro é dado por: P = 2*(a+b), pois os pares de lados são congruentes, enquanto a área é dada por: A=b*h, a altura relativa às bases h pode ser encontrada tendo o ângulo entre os lados ou sabendo a diagonal e um lado.
Retângulo
O perímetro é dado por: P = 2*(a+b) e a área por: A=b*h, igual ao paralelogramo. Sua diagonal é obtida por meio do teorema de pitágoras d=b2*h2.
Losango
O perímetro é dado por: P = 4*l, tem 4 lados iguais e área A=l*h ou A=d1 + d22 usando as diagonais.
Quadrado
O perímetro é P = 4*l e área A=l2, sendo que a diagonal é d=l2.
Questões sobre quadriláteros notáveis
Enem (2016)
O proprietário de um restaurante deseja comprar um tampo de vidro retangular para a base de uma mesa.
Sabe-se que a base da mesa, considerando a borda externa, tem a forma de um retângulo, cujos lados medem AC = 105 cm e AB = 120 cm.
Na loja onde será feita a compra do tampo, existem cinco tipos de opções de tampos, de diferentes dimensões, e todos com a mesma espessura:
Tipo 1: 110 cm × 125 cm
Tipo 2: 115 cm × 125 cm
Tipo 3: 115 cm × 130 cm
Tipo 4: 120 cm × 130 cm
Tipo 5: 120 cm × 135 cm
O proprietário avalia, para comodidade dos usuários, que se deve escolher o tampo de menor área possível que satisfaça a condição: ao colocar o tampo sobre a base, de cada lado da borda externa da base da mesa, deve sobrar uma região, correspondendo a uma moldura em vidro, limitada por um mínimo de 4 cm e máximo de 8 cm fora da base da mesa, de cada lado.
Segundo as condições anteriores, qual é o tipo de tampo de vidro que o proprietário avaliou que deve ser escolhido?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resposta
As medidas dos lados 𝐴𝐶 = 105 𝑐𝑚 e 𝐴𝐵 = 120 𝑐𝑚 poderão variar em 4 𝑐𝑚 e 8 𝑐𝑚 por cada lado, ou seja, 8 cm na horizontal e 16 cm na vertical:
𝐴𝐶 = 113 𝑐𝑚 (105 + 8) valor mínimo e 𝐴𝐶 = 119 𝑐𝑚 (105 + 16) valor máximo.
𝐴𝐵 = 128 𝑐𝑚 (120 + 8) valor mínimo e 𝐴𝐶 = 132 𝑐𝑚 (120 + 16) valor máximo.
Dessa forma, o único tipo que satisfaz essas condições é o tipo 3.
Alternativa correta: C
Seja aprovado com o Estratégia Vestibulares
Você vai encontrar tudo que precisa para alcançar o seu curso dos sonhos, aproveite os conteúdos completos, atualizados e focados nos conteúdos mais cobrados nos vestibulares.
Clique no banner e saiba mais!
