Função de Primeiro Grau: o que é e como aplicar em prova?

Função de Primeiro Grau: o que é e como aplicar em prova?

Você certamente já se deparou com esse conteúdo. Afinal, é assunto básico que todo estudante precisa ter alguma noção para não ser pego de surpresa no vestibular. Função de primeiro grau é a função do tipo ? = ?? + ?.

Algumas características das funções de primeiro grau merecem destaque quando falamos sobre equações do primeiro grau, vamos a elas.

Características da Função de Primeiro Grau

Há, na escrita da função, os coeficientes ? e ?. Atenção, eles não são variáveis, mas coeficientes.

E qual será o papel deles quando esboçamos o gráfico de equações de primeiro grau? O que faremos aqui não é uma “prova” matemática.

Os gráficos que serão apresentados têm a função de explicitar comportamentos conhecidos das funções de primeiro grau a título de apresentação.

Em pontos diferentes do curso veremos algumas provas do que será introduzido intuitivamente nos próximos passos. Feitas as considerações, façamos alguns gráficos para análise.

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Para padronizar, levaremos em consideração a seguinte função de primeiro grau

\dpi{100} \large y=1x+0

\dpi{100} \large y=x

Também conhecida por função afim.

Vejamos seu gráfico.

Função do primeiro grau ou função afim

Alterando os valores do coeficiente \dpi{100} \large \alpha de 1 para 2, 3 ? 4.

Você deve ter notado que, aparentemente, todas as funções de primeiro grau parecem ser retas. Conversaremos sobre isso mais à frente.

Sobre o coeficiente ?, percebeu que quando o aumentamos, também aumenta o ângulo entre a reta ? e o eixo ??

Além disso, todas se interceptam no ponto (?; ?) = (0; 0), o que era de se esperar. Como as funções são todas do tipo

? = ??

quando

? = 0 → ? = ?. 0 = 0.

E o que será que acontece quando colocamos um número negativo no lugar do coeficiente ??

Todas as retas apresentam ângulo maior que 90° com o eixo ?.

Podemos perceber alguns comportamentos da função de primeiro grau referentes ao coeficiente ?:

  • Quanto maior o valor do módulo de ?, mais vertical a reta.
  • Coeficientes positivos geram retas crescentes.
  • Coeficientes negativos geram retas decrescentes.
  • Todas as retas da forma ? = ?? cruzam a origem do plano cartesiano (0; 0).

Está evidente a importância do coeficiente ? para o ângulo entre a reta ? = ?? e o eixo ?. Essa característica levou à designação do coeficiente ? como coeficiente angular.

Entendido o papel do coeficiente angular ? para a função de primeiro grau, passemos ao estudo do coeficiente ?.

Para padronização, utilizaremos a mesma função: ? = 1? + 0 ⇒ ? = ?.

Como fizemos com o coeficiente angular, alteremos o valor do coeficiente ? de 0 para 1, 2 ? 3.

Que figura curiosa.

Note que todas as retas apresentam o mesmo ângulo com o eixo ?, das abcissas. Afinal, se o coeficiente angular de todas essas retas é o mesmo, ? = 1, não poderíamos esperar diferente, não é mesmo?

Já a mudança do coeficiente ? causou um deslocamento do ponto de intersecção da reta com o eixo ?. Antes, todas as retas tocavam o eixo das ordenadas na origem. Ao alterar o coeficiente ?, o ponto de intersecção não só foi alterado, como apresenta o mesmo valor numérico do coeficiente.

Vejamos essa característica algebricamente.

O ponto onde a reta corta o eixo ? tem sempre coordenada (0; ?). Sendo assim, funções do tipo

? = ?? + ?

ao interceptarem o eixo das ordenadas, sempre em um ponto (0; ?), ou seja, ? = 0, apresentará valor calculado no ponto por:

? = 0? + ?

Essa relação entre o ponto de intersecção entre a reta e o eixo ?, também chamado de intercepto-y, dá origem ao nome ao coeficiente ? de coeficiente linear; o valor onde a reta “corta” a linha do eixo vertical.

Com esses dados acerca dos coeficientes angular e linear, já somos capazes de esboçar o gráfico das funções de primeiro grau apenas olhando para ? e ?.

Testemos nossas habilidades. Como seria o gráfico de, digamos, ? = −2? + 5?

O gráfico dessa função de primeiro grau deve ser decrescente, pois o coeficiente linear ? é negativo; e interceptar o eixo ? em (0; 5), pois o coeficiente linear é ? = 5.

Professor, nós falamos do intercepto-y, mas e o ponto em que a função corta o eixo ??

Excelente pergunta!

Esse ponto se chama intercepto-x, zero da função ou ainda, raiz da função.

Se os pontos do eixo vertical todos têm coordenadas ? = 0, algo parecido acontece com o eixo horizontal: todos os pontos têm coordenadas ? = 0.

Para saber onde a função corta o eixo ?, basta substituir ? = 0 na função. E isso funciona para todas as funções, não só para as funções de primeiro grau.

No gráfico, percebemos que a raiz é algo entre 2 e 3, mas não temos precisão para defini-la apenas graficamente.

Vamos calculá-la.

\dpi{100} \large y=-2x+5

\dpi{100} \large 0=-2x+5

\dpi{100} \large 2x=5

\dpi{100} \large x=\frac{5}{2}

\dpi{100} \large x=2,5

Assim, dizemos que a raiz da função

\dpi{100} \large y=-2x+5

é

\dpi{100} \large x=2,5

Professor, se o coeficiente ? for nulo, a reta passa pela origem, correto?

Correto.

E o coeficiente ?, pode ser nulo também?

Pergunta interessante, vejamos o que acontece se substituirmos o coeficiente angular ? por 0.

Como padrão de comparação, usaremos a função cujo gráfico acabamos de esboçar ? = −2? + 5 .

Substituindo o coeficiente angular por 0, temos

? = 0. ? + 5

? = 5

Isso significa que não há onde substituirmos o valor de ?, ou seja, para qualquer valor de ?, ? = 5 e não há variação. Esse tipo de função é chamado de função constante e, para esse caso específico, tem o seguinte gráfico:

Você notou como passamos de uma função para uma equação quando foi preciso calcular a raiz? É muito importante que você esteja ciente dos passos enquanto aprende e enquanto resolve os exercícios. Lembre-se de praticar com simulados para manter-se afiado, combinado?

Resumindo

De acordo com o que vimos até agora, há 6 tipos principais de funções de primeiro grau, ?(?) = ?? + ?, não constantes, veja a seguir:

Atenção, apenas nomeamos os tipos de função de 1 a 6 para numerar os tipos com um fim didático. Não se refira em uma prova a uma função do tipo 5, por exemplo. Em vez disso, explicite as condições dos coeficientes ? e ?.

Exercício de Fixação

Função de Primeiro Grau

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

a) \dpi{100} \large f(x)=2x+5

b) \dpi{100} \large f(x)=-x

c) \dpi{100} \large f(x)=0,3x+8

d) \dpi{100} \large f(x)=\frac{2}{3}x+\frac{1}{5}

e) \dpi{100} \large f(x)=-x+\pi

f) \dpi{100} \large f(x)=e\cdot x-\pi

g) \dpi{100} \large f(x)=\sqrt{5}+3x

h) \dpi{100} \large f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\ x

i) \dpi{100} \large f(x)=-\frac{1}{\sqrt{\pi }}\ x+2

j) \dpi{100} \large f(x)=-2x-\frac{1}{\sqrt{\pi }}

Respostas:

a) ? > 0, ? > 0,???? 1

b) ? < 0, ? = 0,???? 5

c) ? > 0, ? > 0,???? 1

d) ? > 0, ? < 0,???? 3

e) ? < 0, ? > 0,???? 6

f) ? > 0, ? < 0,???? 3

d) ? > 0, ? > 0,???? 1

h) ? > 0, ? = 0,???? 2

i) ? < 0, ? > 0,???? 6

j) ? < 0, ? < 0,???? 4

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