Um dos usos da matemática é para estabelecer o número de possibilidades de acontecer um evento, ou quantas formas e conjuntos diferentes de elementos podem ser formados em uma determinada situação. Esse tipo de cálculo é realizado por meio do Princípio Fundamental da Contagem.
Trata-se de um conceito da análise combinatória que parte da lógica matemática básica para encontrar valores e possíveis combinações para eventos com diversos fatores. É por meio dele que são determinados os diferentes tipos de sorvete de 2 bolas que podem se formar, considerando que existem 10 sabores em uma sorveteria, por exemplo.
Se você quer entender como esse cálculo acontece, continue lendo este artigo e aprenda as definições e raciocínio que norteiam o Princípio Fundamental da Contagem. Além de sua importância prática, este tema é comum nos vestibulares, em especial o Enem. Para te ajudar com isso, você encontra questões de prova resolvidas e com gabarito ao final do texto.
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O que é o Princípio Fundamental da Contagem?
A análise combinatória é a área da matemática que estuda as diferentes formas de combinar, arranjar ou permutar diversos elementos. É necessária para encontrar probabilidades de determinados eventos acontecerem e para determinar quantos algarismos haverão nas placas de identificação de algum material.
Todo esse estudo parte do conceito básico chamado de Princípio Fundamental da Contagem. Por meio dele, é definido que para encontrar um conjunto de x eventos possíveis, devemos levar em consideração o número de elementos dentro de cada evento e multiplicá-los. Entenda melhor com o exemplo abaixo:
Um garoto está se arrumando para ir ao Enem e precisa encontrar uma roupa confortável e adequada para esse momento. Ele determina que usará uma calça de material maleável, uma camiseta lisa e um par de tênis.
Com essas características, ele anota que possui 4 calças, 3 camisetas e 2 pares de tênis que se encaixam perfeitamente nos parâmetros. De quantas maneiras diferentes esse garoto pode escolher suas roupas?
Entre as diferentes opções, ele sempre terá 4 calças, que vamos chamar de A, B, C e D. Para cada uma delas ele pode usar as 5 camisetas que possui (preta, branca e azul). Consideremos que, nesse primeiro momento ele está com o tênis cinza. Da seguinte forma:
- A + preta + tênis cinza
- A + branca + tênis cinza
- A + azul + tênis cinza
- B + preta + tênis cinza
- B + branca + tênis cinza
- B + azul + tênis cinza
- C + preta + tênis cinza
- C + branca + tênis cinza
- C + azul + tênis cinza
- D + preta + tênis cinza
- D + branca + tênis cinza
- D + azul + tênis cinza
Ainda assim, ele pode fazer novas combinações, ao trocar o tênis cinza pelo seu outro par, que é marrom.
- A + preta + tênis marrom
- A + branca + tênis marrom
- A + azul + tênis marrom
- B + preta + tênis marrom
- B + branca + tênis marrom
- B + azul + tênis marrom
- C + preta + tênis marrom
- C + branca + tênis marrom
- C + azul + tênis marrom
- D + preta + tênis marrom
- D + branca + tênis marrom
- D + azul + tênis marrom
Esse raciocínio é necessário e importante para responder à pergunta, mas o Princípio Fundamental da Contagem sintetiza essas informações ao mencionar que basta multiplicar o número de opções possíveis em cada elemento e conseguimos o valor total de conjuntos possíveis.
4 calças x 3 camisetas x 2 pares de tênis = 24 formas
Usos do Princípio Fundamental da Contagem
Como foi mencionado anteriormente, o Princípio Fundamental da Contagem norteia todo o estudo da análise combinatória. A maior parte dos cálculos em probabilidade, permutação, arranjos e etc, dependem de entender esse conceito e depois excluir os casos não pedidos pelo enunciado.
No exemplo acima, é possível definir qual a chance, em porcentagem, do menino sair com uma camiseta azul. Com a lista que fizemos, basta selecionar todos os casos em que a camiseta azul aparece com calças de diferentes cores e/ou tênis variados.
- A + azul + tênis cinza
- B + azul + tênis cinza
- C + azul + tênis cinza
- D + azul + tênis cinza
- A + azul + tênis marrom
- B + azul + tênis marrom
- C + azul + tênis marrom
- D + azul + tênis marrom
Nesse caso, das 24 opções de conjuntos possíveis, apenas 8 estão montadas com a camiseta azul. Então, a chance de isso acontecer é de 8/24 = 33%. Essa mesma informação pode ser obtida com o princípio fundamental da contagem, basta determinar que existem 4 tipos de calça, 2 tipos de tênis e apenas o 1 tipo azul de camiseta.
4 calças x 1 camisetas x 2 pares de tênis = 8 formas
Importância do Princípio no cotidiano
No cotidiano, esses processos de contagem são úteis para a criação de números de identificação. Uma das necessidades das nações é identificar cada um dos veículos circulantes no território, para isso são utilizadas as placas automotivas.
É necessário que o código identificador de cada veículo seja diferente entre si, para evitar problemas judiciais. Nesse sentido, o número de placas possíveis deve ser maior do que o número de automóveis que vão circular na região nos próximos anos.
Diante disso, é necessário escolher símbolos que tenham diversas opções para garantir milhares ou até milhões de conteúdos identificadores. É por isso que muitas nações utilizam números e letras para representar os veículos.
Existem 26 letras possíveis no alfabeto, além de 10 algarismos diferentes, quando aplicado o princípio fundamental da contagem, isso determina uma grande quantidade de placas possíveis. No Brasil, atualmente, os códigos são formados por: (letra, letra, letra) – (algarismo, letra, algarismo, algarismo). Isso significa que:
26.26.26.10.26.10.10 = 456.976.000 placas
Questões sobre princípio fundamental da contagem
(Enem/2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.
Opção I- LDDDDD
Opção II- DDDDDD
Opção III- LLDDDD
Opção IV- DDDDD
Opção V- LLLDD
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.
A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.
A opção que mais se adequa às condições da empresa é
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
Vamos calcular o número de códigos possíveis a partir das definições abaixo. Lembrando que a multiplicação deve ser maior que um milhão (106) e menor que dois milhões (2.106).
D = 10 dígitos possíveis
L = 26 letras possíveis
Opção I- LDDDDD = 26.105 = 2,6.106 → esse valor é maior que 2.106 então não é adequado.
Opção II- DDDDDD = 106 → esse valor não é maior que 106 então não é adequado!
Opção III- LLDDDD = 26.26.104 = 6,76.106 → esse valor é maior que 2.106 então não é adequado.
Opção IV- DDDDD = 105 → esse valor não é maior que 106 então não é adequado!
Opção V- LLLDD = 26.26.26.102 = 1,7576.106 → esse valor é maior que 106 e menor que 2.106, então atende perfeitamente às necessidades da empresa. De forma que a alternativa correta é a letra E.
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