A proporcionalidade é um princípio fundamental da matemática que envolve a relação entre grandezas. É um conceito com aplicações em diversas áreas do conhecimento, como geometria, física e engenharia.
Pode ser utilizada para conversão de escalas, na trigonometria e na física, além de envolver curiosidades como o número de ouro. É um tema que abrange desde a definição de razão e proporção até conceitos como o Teorema de Tales.
Neste texto, exploraremos os principais tópicos relacionados a esse tema, abordando desde a definição de razão e proporção até suas aplicações em problemas do cotidiano. Acompanhe abaixo.
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Razão e Proporção
A razão é a comparação entre duas grandezas expressa na forma de uma fração. Por exemplo, se um carro percorre 300 km em 5 horas, a razão entre a distância e o tempo é:
Razões podem ser aplicadas a diferentes grandezas, como massa (a relação entre dois objetos em quilogramas) ou comprimento (a relação entre dois segmentos de reta).
Elas possuem propriedades importantes, como:
- Simplificação: Razões podem ser simplificadas dividindo numerador e denominador por um mesmo fator. Exemplo:
*Ambos os fatores foram divididos por 12.
- Equivalência: Duas razões são equivalentes se resultam no mesmo valor quando simplificadas. Exemplo:
Já a proporção é a igualdade entre duas razões, expressa na forma:
Por exemplo:
No caso acima temos uma proporção. A propriedade fundamental das proporções afirma que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
Essa propriedade é fundamental para resolver equações envolvendo proporções. Confirmando a afirmação acima, se multiplicarmos 3 por 10 ou 6 por 5 vamos obter o mesmo valor, 30.
+ Veja também:Operações com frações: veja como resolver!
Segmentos proporcionais
Dois segmentos são proporcionais quando seus comprimentos mantêm uma relação constante com outros segmentos dados. Por exemplo, observe a figura geométrica a seguir:
Os segmentos AB e CD são proporcionais a EF e GH, pois temos:
Podemos representar segmentos proporcionais por meio de outras figuras geométricas, como triângulos semelhantes e trapézios. O cálculo de segmentos proporcionais é útil na resolução de problemas práticos, como determinar a altura de um objeto com base em medições indiretas.
Exemplo: Suponha que AB=6 cm, BC=x cm e que a razão entre AB e BC seja 3/2. Assim, temos:
Multiplicando cruzado:
Teorema de Tales
O Teorema de Tales estabelece que, se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo corta os outros dois lados, ela os divide em partes proporcionais. Para melhor entender o enunciado observe a figura a seguir:
As retas t, u e v são paralelas e interceptam as retas r e s que são transversais entre si. Perceba que os segmentos IK, KM, JL e LN foram determinados pelas intersecções das retas, logo pelo teorema de Tales, esses segmentos são proporcionais, ou seja, as razões entre eles são iguais, assim:
Esse teorema pode ajudar a resolver inúmeros problemas na matemática como medidas desconhecidas.
Exemplo: Uma escada projeta uma sombra de 3 m, enquanto uma vara de 1,5 m projeta uma sombra de 1 m. Como as sombras e as alturas formam triângulos semelhantes, temos a proporção:
Multiplicando cruzado:
Perceba que nesse caso a reta paralela seria o chão. Esses exemplos mostram como a proporcionalidade é útil para determinar medidas desconhecidas em diferentes contextos.
Semelhança de triângulos
Na Geometria Plana, triângulos semelhantes são aqueles que possuem ângulos correspondentes iguais e seus lados proporcionais entre si. Existem três casos em que os triângulos são considerados semelhantes:
- AA (Ângulo-Ângulo): Se dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos de outro, os triângulos são semelhantes;
- LAL (Lado-Ângulo-Lado): Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos lados de outro e o ângulo entre eles é igual, os triângulos são semelhantes; e
- LLL (Lado-Lado-Lado): Se os três lados de um triângulo são proporcionais aos três lados de outro, os triângulos são semelhantes.
A semelhança de triângulos têm aplicações práticas, como calcular a altura de prédios e medir distâncias.
Exemplo: Em um desenho, um triângulo tem lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm. Se esse triângulo for ampliado de forma proporcional e o menor lado da nova figura medir 9 cm, qual será o comprimento do maior lado?
Solução: Como os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes mantêm a mesma proporção. A relação entre os lados menores e maiores será:
Multiplicando cruzado:
Resposta: O maior lado do novo triângulo mede 15 cm.
Aplicações da proporcionalidade entre segmentos
A proporcionalidade aparece em diversas áreas do conhecimento, dentre elas podemos citar:
- Escalas: Mapas e plantas utilizam escalas proporcionais para representar distâncias reais em um espaço reduzido. Por exemplo, em um mapa com escala 1:10.000, cada 1 cm no mapa representa 10.000 cm (ou 100 m) na realidade;
- Trigonometria: Relações trigonométricas em triângulos retângulos, como seno, cosseno e tangente, são baseadas em razões entre lados proporcionais; e
- Física: Na lei de Hooke, a deformação de uma mola é proporcional à força aplicada. No movimento uniformemente variado, a equação da posição envolve relações proporcionais entre tempo e aceleração.
Exemplo: Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 5 cm. Sabendo que a escala do mapa é 1:200.000, qual a distância real entre as cidades?
Solução: A escala significa que 1 cm no mapa representa 200.000 cm na realidade. Assim, temos a proporção:
Substituindo os valores:
Multiplicando cruzado:
Resposta: A distância real entre as cidades é 10 km.
Curiosidades sobre a proporcionalidade
História da Proporcionalidade
A ideia de proporcionalidade surgiu na antiguidade, quando egípcios e babilônios usavam as razões para construir os templos e as pirâmides. Na Grécia, Euclides formalizou esses conceitos em “Os Elementos”, influenciando a matemática por séculos.
Durante o Renascimento, artistas como Leonardo da Vinci exploraram proporções na arte. Já na era moderna, a proporcionalidade se tornou essencial na engenharia, física e computação gráfica, garantindo equilíbrio e precisão em diversas áreas.
O Número de Ouro
A razão áurea (ϕ ≈ 1,618) é um padrão matemático encontrado na natureza, na arte e na arquitetura, associado à harmonia e estética. Aparece na disposição de folhas, conchas, como a do náutilo, e na organização das sementes do girassol, que seguem a sequência de Fibonacci, intimamente ligada a ϕ.
Na arte e na arquitetura, é notável sua aplicação no Partenon, e em obras como o “Homem Vitruviano”, que explora a simetria do corpo humano baseada na razão áurea. Além disso, é utilizado como um guia para criar composições visualmente e auditivamente equilibradas.
A proporcionalidade, portanto, é uma ferramenta poderosa para resolver problemas em várias áreas do conhecimento, conectando conceitos matemáticos à realidade de forma intuitiva e eficiente.
Questão sobre proporcionalidade no vestibular
ENEM (2020)
Um motociclista planeja realizar uma viagem cujo destino fica a 500 km de sua casa. Sua moto consome 5 litros de gasolina para cada 100 km rodados, e o tanque da moto tem capacidade para 22 litros. Pelo mapa, observou que no trajeto da viagem o último posto disponível para reabastecimento, chamado Estrela, fica a 80 km do seu destino. Ele pretende partir com o tanque da moto cheio e planeja fazer somente duas paradas para reabastecimento, uma na ida e outra na volta, ambas no posto Estrela. No reabastecimento para a viagem de ida, deve considerar também combustível suficiente para se deslocar por 200 km no seu destino.
A quantidade mínima de combustível, em litro, que esse motociclista deve reabastecer no posto Estrela na viagem de ida, que seja suficiente para fazer o segundo reabastecimento, é:
A) 13
B) 14
C) 17
D) 18
E) 21
Alternativa correta:
C
Sabemos que a taxa de consumo é 100 km : 5 L, resultando em 20 km/L. Para percorrer 420 km, até o posto estrela, o consumo será:
420÷20=21L
Como o tanque tem 22 L, restará:
22−21=1L
Agora, consideramos o combustível necessário para percorrer os 80 km restantes, mais 200 km na cidade e 80 km de volta, totalizando 360 km:
360÷20=18 L
Como há 1 L sobrando, é necessário abastecer no mínimo:
18−1=17 L
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