Radiciação: o que é, propriedades, potências e exemplos

Radiciação: o que é, propriedades, potências e exemplos

A radiciação é uma operação matemática que aparece com muita frequência nos vestibulares: diversos exercícios de equações ou problemas pedem a resolução de uma raíz quadrada, ou a inversão de uma potência. Esses assuntos são todos pertinentes à radiação, o que torna o tema extremamente relevante no estudo preparatório.

Neste artigo, você entenderá melhor a relação entre as raízes quadradas e as potências, quais são as propriedades e símbolos da radiciação, além de ver exemplos de questões do vestibular que abordam o tema. Continue lendo e conheça mais!

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O que é radiciação?

A radiciação pode ser definida pela operação inversa da potenciação. Isso significa que, quando operamos uma radiciação em um elemento com expoente, encontra-se um valor neutro. O símbolo matemático para a radiciação é a raiz (√), como você observa na imagem abaixo.

Imagem: Reprodução/Wikimedia

O número n (em vermelho) que aparece na lateral esquerda da raiz é o índice, responsável por dar nome a ela. A mais comum é a raiz quadrada, que pode ser representada tanto por 2√ ou √ (sem o número dois). 

Existem outros tipos de raiz, como a raiz cúbica (3√), raiz quarta (4√), raiz quinta (5√) e assim sucessivamente.

Em verde está evidenciado o símbolo da radiciação e, em azul (3), encontramos o radicando: valor que fica dentro da raiz e será operado

Agora que você já entende melhor o símbolo e a localização dos elementos em uma radiciação, veja o que essa operação significa em termos matemáticos:

an = x  ⇒ n√x = a

Veja: a potência multiplica o elemento a n vezes, resultando no valor x. 

Enquanto isso, a radiciação serve para encontrar o valor que, multiplicado n vezes, resulta em x. Dessa forma, na equação  2√16 = y, você quer descobrir um y que, multiplicado por si mesmo 2 vezes, resultará em dezesseis:

 2√16 = y ⇒
⇒ y2 = 16
⇒ y.y= 16
⇒ y = 4

Propriedades da radiciação

Inversa da potência

A primeira propriedade da radiciação já foi abordada no tópico anterior: a radiciação é a operação inversa da potenciação. Inclusive, existe uma forma de escrever as raízes apenas com expoentes, sem o símbolo clássico, assim:

n√xy =   xy/n

Veja que, o radicando x tem o expoente y, e o valor do índice é n. Quando transformamos essa estrutura em uma potência, o expoente será fracionário.

Essa fração será tal que: o expoente do radicando (y) fica na parte de cima da fração (numerador), enquanto o índice da raiz fica na parte de baixo (denominador).

Essa configuração pode ser lembrada com a seguinte ideia: imagine uma festa, as pessoas que estão no dentro do camarote estão “por cima”, quem só vê de fora está “por baixo”. Então, o que está dentro da raiz fica por cima, o que está fora, fica por baixo.

10√45 =   45/10
7√32 =   32/7
4√82 =  82/4

Multiplicação e divisão do expoente e índice

A segunda propriedade da radiciação é que, quando o índice e o expoente do radicando são multiplicados pelo mesmo valor, o resultado do cálculo não se altera, assim:

n√xy = n.a√xy.a
2√26 = 3.2√23.6

Uma consequência dessa propriedade é que, o expoente do radicando e o índice podem ser divididos pelo mesmo valor, até mesmo para facilitar os cálculos. Geralmente, isso será feito até encontremos o primeiro número primo seja no expoente ou no índice da raiz, vejamos:

3.2√23.6 = x 
6√218 = x

Como o 6 e o 18 têm divisores em comum, podemos  operá-los com esses divisores, até que fiquem no menor valor possível:

6√218 = x
6 ፥ 2√218 ፥ 2 = x
3√29 = x

Se utilizarmos o conceito da radiciação nesse estágio da equação, já podemos encontrar o valor de x, observe:

3√29 = x ⇒ x3 = 2

Agora, utilizando as propriedades da potenciação, sabemos que na multiplicação de potências, operamos uma soma dos expoentes:

 x3 = 23+3+3
x3 = 23.23.23
x3 = 8.8.8

Assim, x=8

Multiplicação e divisão de raízes com o mesmo índice

A terceira propriedade versa sobre raízes de mesmo índice que estão sendo multiplicadas ou divididas. 

Quando isso acontece, podemos colocá-las todas embaixo de um mesmo símbolo de raiz, realizando apenas a operação multiplicativa ou fracionária, assim:

radiciação - propriedades

Acompanhe os exemplos:

radiciação - exemplos

Expoente da raiz toda é um expoente do radicando 

Quando uma raiz está toda exponenciada por um valor n, isso pode ser reescrito com o mesmo expoente n somente no radicando, assim:

raiz e expoentes

Inclusive, caso você encontre uma radiciação em que o índice é igual ao expoente interno, o resultado dessa conta é o próprio radicando:

E quando uma raiz está dentro da outra?

A última propriedade a ser abordada são os casos em que precisa-se calcular a raiz da raiz. Nesse caso, o radicando é conservado e os índices devem ser multiplicados, da seguinte maneira:

radiciação da raiz

Como encontrar o valor de uma raiz?

Agora que você já conhece as principais propriedades da radiciação, vamos treinar esse conhecimento aplicando na resolução de um exercício. Aprenda, então, como encontrar o valor de uma raiz!

O primeiro passo é sempre fatorar (dividir) o número em número primos, até que se encontre o valor de 1. Assim, você encontra uma grande multiplicação que resume aquele valor. Depois, você agrupa eles em grupinhos de n elementos, considerando que n é o índice da radiciação em questão. 

O número de grupos com n elementos é o resultado do cálculo.

√625 = ?

625 ፥ 5 = 125 ፥ 5 = 25 ፥ 5 = 5 ፥ 5 = 1

Assim, são necessárias quatro multiplicações de 5 por ele mesmo para encontrar o valor de 625. Ou seja: 

√625 = 5.5.5.5, podemos simplificar esse processo como:

√625 = 52.52

O número que, multiplicado por si mesmo duas vezes resulta em 625 é o 52 = 25

Questão de vestibular sobre radiciação

(CEFET/RJ) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45?

a) 2700.

b) 2800.

c) 2900.

d) 3000.

√(0,75.x) = 45
452 = 0,75.x
2025 = 0,75 . x
2025 / 0,75 = x

x = 2700, como aponta a alternativa A.

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