A bissetriz é a semirreta que divide um ângulo ao meio, formando dois ângulos congruentes. É um conceito essencial para resolver problemas envolvendo ângulos e proporções em triângulos.
Tem aplicação direta em questões de geometria plana. Entender as bissetrizes permite compreender melhor as relações internas dos triângulos e aplicar conceitos de simetria, proporcionalidade e construção geométrica com precisão.
Neste texto, você vai entender o que são bissetrizes interna e externa, os teoremas relacionados, demonstrações e aplicações práticas. Acompanhe abaixo.
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Conceito de Bissetriz
A bissetriz de um ângulo é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância dos dois lados desse ângulo. De maneira geral, ela divide o ângulo exatamente ao meio, criando dois ângulos congruentes (iguais em medida).
Essa definição é fundamental para compreender construções geométricas e relações proporcionais, especialmente em figuras como os triângulos. As bissetrizes internas e externas possuem propriedades muito úteis.
+ Veja também: Arcos e ângulos: o que são, circunferência e como medir
Bissetriz Interna
A bissetriz interna de um triângulo é o segmento de reta que parte de um vértice e divide o ângulo interno desse vértice ao meio, indo até o lado oposto, que ela intercepta. Essa interseção cria dois triângulos dentro do triângulo original.
Imagine o triângulo ABC. Se desenharmos a bissetriz do ângulo no vértice B, ela encontrará o lado oposto AC em um ponto D. Essa bissetriz divide o ângulo ∠ABC em dois ângulos congruentes.
Teorema da Bissetriz Interna
O Teorema da Bissetriz Interna nos diz que: “Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes a esse ângulo.”
Ou seja, se a bissetriz parte do vértice B e intercepta o lado AC no ponto D, então vale a seguinte relação:
Essa proporção mostra que os dois segmentos criados no lado oposto (BC e CD) estão em uma razão igual à razão dos lados adjacentes ao ângulo (AB e AD).
Demonstração do teorema da bissetriz interna
Uma forma de demonstrar isso é utilizando a Lei dos Senos nos dois triângulos menores formados pela bissetriz: os triângulos ADB e DBC.
Temos:
Sabe-se que:
Temos ainda que:
Substituindo (3) e (4) em (2):
Logo:
Bissetriz externa
A bissetriz externa é a semirreta que divide ao meio um ângulo externo do triângulo. Esse ângulo externo é formado quando estendemos um dos lados do triângulo além do vértice.
Se no triângulo ABC estendermos o lado BC além do ponto B, formamos um ângulo externo no vértice B. A bissetriz desse ângulo externo encontrará a reta que contém o lado oposto (AC estendido), em um ponto D.
Teorema da bissetriz externa
“Em um triângulo, a bissetriz de um ângulo externo divide a reta que contém o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes ao ângulo.”
Se D é um ponto na reta prolongada de AC, e a bissetriz do ângulo externo em B encontra essa reta no ponto D, então temos:
Ou seja, a fórmula é formalmente igual à da bissetriz interna, mas aplicada a outro contexto.
Demonstração do teorema da bissetriz externa
Sabemos que:
Para o triângulo EAB:
Para o triângulo ECB:
Logo:
Quando e como usar os teoremas
Existem dois tipos principais de questões em que o teorema da bissetriz pode ser utilizado:
- Diretas: quando a figura está pronta e é necessário apenas aplicar a fórmula; e
- Combinadas: quando a questão exige também o uso de semelhança de triângulos, perímetro, ou até sistema de equações.
Exemplo típico:
“No triângulo ABC, a bissetriz interna do ângulo A encontra o lado BC no ponto D. Sabendo que AB = 8 cm, AC = 6 cm e que BD = x, DC = x + 1, determine x.”
Nesse caso, você monta a proporção e resolve a equação.
Para utilizar o teorema é importante seguir os passos:
- Identifique se é uma bissetriz interna ou externa;
- Localize o ângulo que foi dividido ao meio (interno ou externo);
- Identifique os lados adjacentes a esse ângulo;
- Identifique o ponto de interseção da bissetriz com o lado oposto (ou seu prolongamento);
- Monte a proporção de acordo com o teorema adequado; e
- Resolva a equação e encontre o valor solicitado.
Casos especiais e observações
Um caso curioso é quando o triângulo é isósceles. Se a bissetriz externa é traçada a partir do vértice oposto à base, ela será paralela à base.
Isso pode ser útil em provas que exploram propriedades de paralelismo ou ângulos alternos internos, por exemplo.
Erros mais comuns e como evitá-los
- Confundir bissetriz interna com externa: observe se o ângulo dividido está dentro ou fora do triângulo;
- Montar proporções erradas: sempre escreva a razão na ordem certa: lado adjacente / lado adjacente = segmento / segmento;
- Erro na figura: um desenho mal feito pode induzir ao erro, por isso faça esquemas claros e bem rotulados; e
- Resolver mal a proporção: faça as multiplicações com calma, confira o que é conhecido e o que está sendo pedido.
Questão do vestibular sobre bissetriz
Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) 2024
Observe o triângulo ABC abaixo:
Sabendo que o segmento de reta AB é a bissetriz do ângulo do vértice A, que o perímetro do triângulo ABC é igual a 54 cm e que as medidas dos segmentos de retas BD e DC valem, respectivamente, 8 cm e 16 cm, o produto das medidas dos lados AB e AC, em cm2, é igual a:
A) 125
B) 151
C) 176
D) 200
E) 225
Alternativa correta:
D
Para o triângulo ABC, sabendo que o segmento AD é bissetriz do ângulo A, teremos:
Como os segmentos de retas BD e DC valem, respectivamente, 8cm e 16cm, substituindo, teremos:
Mas, sabemos que o perímetro do triângulo ABC é 54cm, então…
p=54
AB+AC+8+16=54
AB+AC=54−8−16
AB+2AB=30
AB=10cm
E, a medida do segmento AC é:
AC=20cm
O produto das medidas dos lados AB e AC em cm2, é igual a:
10⋅20 =200
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