Uma circunferência pode ser estudada em seus diferentes componentes: raios, diâmetros, arcos e ângulos. Esses últimos elementos são o assunto principal deste artigo.
Medidos de diferentes formas, os arcos e ângulos auxiliam na divisão de uma circunferência em grandes ou pequenas partes. No cotidiano isso pode aparecer no corte de bolos, pizzas, na distância dos ponteiros do relógio e outros momentos.
Para conhecer melhor essas entidades matemáticas, continue lendo. Aqui você encontrará a definição dos arcos e dos ângulos, as maneiras de medir essas grandezas, o comprimento deles em unidades métricas e como o tema é cobrado nos vestibulares.
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O que são arcos e ângulos?
Ângulos
O conceito de ângulo pode ser extraído da geometria plana. Segundo isso, um ângulo é medido pela abertura presente quando duas semirretas são traçadas a partir de um vértice comum.
Um ângulo pode ser classificado em diferentes tipos.
Segundo o intervalo de graus em que se encontra:
- Ângulo agudo: medida maior que 0º e menor que 90º;
- Ângulo reto: é medido com exatos 90º; e
- Ângulo obtuso: tem mais do que 90º.
Arcos
Os arcos são criados quando dois pontos na circunferência marcam uma pequena distância dentro daquele traçado circular. Na imagem abaixo você pode observar que os pontos A e B delimitam um arco AB na circunferência de centro C.
Note também que os raios (semirretas CB e CA) partem desses pontos, se ligam ao centro C, que aparece como um vértice comum. Dessa forma, fica perceptível que a abertura entre as semirretas marca também um ângulo C.
Como são medidos arcos e ângulos?
Graus
Por definição, é dado que uma circunferência tem, desde seu ponto inicial até o final, exatos 360º (360 graus). Como o traçado de um círculo termina e começa em si mesmo, o ângulo de 0º graus está na mesma marcação que o ângulo de 360º.
Veja que, somente com as informações abordadas até aqui, é possível solucionar a questão da prova da Universidade Estadual de Goiás (UEG-2016) abaixo. Acompanhe a resolução:
Na competição de skate a rampa em forma de U tem o nome de vert, onde os atletas fazem diversas manobras radicais. Cada uma dessas manobras recebe um nome distinto de acordo com o total de giros realizados pelo skatista e pelo skate, uma delas é a “180 allie frontside”, que consiste num giro de meia volta. Sabendo-se que 540° e 900° são côngruos a 180°, um atleta que faz as manobras 540 Mc Tuist e 900 realizou giros completos de
a) 1,5 e 2,5 voltas respectivamente.
b) 0,5 e 2,5 voltas respectivamente.
c) 1,5 e 3,0 voltas respectivamente.
d) 3,0 e 5,0 voltas respectivamente.
e) 1,5 e 4,0 voltas respectivamente.
Sabemos que uma circunferência completa tem o total de 360º graus. Assim, por meio de algumas regras de três podemos encontrar o número de giros completos encontrados nas manobras de 540º e de 900º:
360º —— 1 volta completa
540º ——- x voltas completas
540.1 = 360.x
540/360 = x
x = 1,5
360º —— 1 volta completa
900º——- y voltas completas
900.1 = 360.y
90/36 = y
2,5 = y
Ou seja, em um giro de 540º graus foram efetuadas 1,5 voltas circunferenciais completas. Já em um giro de 900º são concluídas 2,5 voltas, como aponta a alternativa A.
Radianos
Para facilitar os cálculos matemáticos, é importante que os ângulos e arcos possam ser referidos em números reais. Para isso, foi criada a unidade de radianos (rad), que relaciona o arco delimitado pelo ângulo com o raio da circunferência.
De maneira que 1 rad é igual ao raio da circunferência (1 rad = r). Além disso, é importante notar que a medida em radianos de um arco é exatamente igual à medida em radianos do ângulo que o delimita.
A partir disso, foi definido que, para qualquer circunferência 180º = ? rad. De modo semelhante ao que foi feito no tópico anterior, é possível utilizar regras de três para solucionar problemas que contenham esse assunto.
Universidade Federal de Lavras (UFLA)
A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é π/4 rad, as medidas dos arcos AN e AP, em radianos, respectivamente, são:
a) 3π/4 e 5π/4.
b) π e 3π/2.
c) 3π/4 e 2π.
d) π/2 e 5π/4.
e) 3π/4 e 5π/8.
O primeiro passo para iniciarmos a resolução de uma questão como essa é relembrar alguns conceitos básicos da geometria.
Um retângulo possui os dois pares de lados opostos iguais entre si, assim, sabemos que os segmentos MQ=NP, assim como NM=PQ.
Depois, observamos que o arco de circunferência marcado entre AM será semelhante ao arco NH. O mesmo acontece com os arcos HP e AQ, já que como mostra a figura abaixo:
Como, no enunciado já foi informado o valor o arco AM , já possível inferir a quantidade de radianos associada a cada um desses arcos:
Conforme visto anteriormente, sabemos que meia volta de circunferência (o arco marcado entre AH ) possui exatamente 180º, ou seja, π radianos.
Seguimos o cálculo com a observação de que queremos o valor do arco AN. De maneira lógica, ele pode ser encontrado a partir da equação:
AH – NH = AN
Se AH = π e NH = π/4, então:
π – π/4 = AN
3π/4 = AN
O outro arco requerido pela questão é o que está entre os pontos A e P.
Observe que ele é composto por toda a meia volta da circunferência e, depois, abrange o arco HP. Assim, o cálculo para encontrar AP pode ser dado por:
meia volta + HP = AP
π + π/4 = AP
5π/4 = AP
A alternativa correta, portanto, é a letra A.
+ Veja também: Número Pi (π): origem e aplicações!
Arcos e ângulos no relógio
Uma das associações mais comuns em vestibulares, quando o assunto são arcos e ângulos, está relacionada com o relógio analógico. Essa conexão acontece porque os relógios são, geralmente, circulares e marcam um período de tempo, de forma que cada intervalo temporal é demonstrado pela abertura de um arco de circunferência.
Para iniciar o estudo dessas relações, vamos anotar as principais informações.
A circunferência do relógio é dividida em 12 partes, de forma que 360º/12 = 30º. Assim, a distância entre cada número do relógio é dada por um arco de 30º, que também pode ser chamado de π/6 rad.
O círculo do relógio possui pequenas marcações que o dividem em 60 partes iguais, demonstrando os minutos. Nesse caso, a distância entre essas pequenas marcações é de:
360º/60 = 6º (ou π/30)
O ponteiro que marca as horas percorre 360º (2π rad) em 12 horas. Isso significa que, a cada hora ele anda 30º, até que complete 12 x 30º = 360º. O ponteiro dos minutos percorre 360º em uma hora, porque a cada minuto ele anda 6º (6º.60 minutos = 360º). Por fim, o ponteiro que marca os segundos faz esse mesmo trajeto de 360º a cada minuto.
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais (Cefet–MG)
A medida do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h30min, em grau, é:
a) 90
b) 105
c) 110
d) 120
e) 150
Os arcos de circunferência marcados no relógio quando são 9h30min são tais que:
(360º/12) .3 = ângulo interno
30*3= 90º
(360º/12) .9 = ângulo externo
30*9 = 270º
O menor ângulo, portanto, marca exatos 90º, como mostra a alternativa A.
+ Veja mais: Funções trigonométricas: fórmulas, gráficos e aplicações
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