Operações com arcos: o que são, ciclo trigonométrico e como fazer

Operações com arcos: o que são, ciclo trigonométrico e como fazer

Os arcos de uma circunferência são definidos por dois ou mais pontos que dividem o traçado circular em diferentes ângulos. Nos vestibulares, é frequente a cobrança de questões de operações com arcos, de maneira contextualizada como os giros de um ponteiro no relógio, a rotação de engrenagens ou rodas de carro.

Aprenda, a partir de agora, as definições sobre operações com arcos, com exemplos de cálculos, além de acompanhar a resolução de questões de prova sobre esse assunto. Vamos lá?!

O que são operações com arcos?

Operações com arcos são ferramentas da trigonometria propostas para as situações em que os ângulos são somados ou subtraídos entre si. É possível relacionar esses cálculos tanto com a geometria plana, como com as funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente.

Dada a relação entre arcos e ângulos, sabe-se que todo ângulo terá um arco correspondente no ciclo trigonométrico. De forma que, para o ângulo α = 45º, podem ser delimitados dois pontos que conferem o arco 45º. 

Lembre-se que um círculo possui, ao todo, 360º. De forma que, sempre que um arco γ é estabelecido dentro dele, haverá um outro ângulo Ω formado. De forma que  γ +  Ω = 360º.

exemplos de arcos de ângulos
Imagem: Adaptação/Wikimedia

Tabela trigonométrica para operações com arcos e ângulos

A trigonometria apresenta muitos valores irracionais e todos entre 1 e 0. Por isso, é complexo decorar as razões trigonométricas de todos os ângulos. Assim, existe uma tabela trigonométrica que agrupa todos os ângulos notáveis e recorrentes em exercícios de ensino médio e vestibulares.

tabela trigonométrica
Imagem: Reprodução/Wikimedia

Como diferencial no momento da prova, memorizar o valor dessas razões trigonométricas pode ser útil para ganhar tempo e resolver as questões com um pouco mais de velocidade. 

Exemplo do uso de arcos e ângulos

Associações de arcos, ângulos e geometria plana,  além de serem importantes no estudo trigonométrico, também podem ser levadas em consideração quanto ao comprimento circunferência que está contido em um dado arco. Acompanhe o exemplo:

Se um pneu de carro tem 60 cm de diâmetro e é rolado no chão em um arco X que tem tg X = √3, qual a distância entre o ponto de início do rolamento e o ponto de parada?

exercícios de operações com arco
Imagem: Reprodução/Wikimedia

A imagem acima demonstra, hipoteticamente, que o arco percorrido pelo pneu tem um ângulo X, em que tg X = √3. Conforme a tabela trigonométrica apresentada acima, o ângulo que apresenta esse valor de tangente é X = 60º. Para continuar os cálculos e alcançar as informações requeridas no enunciado, é importante conhecer a fórmula que determina o comprimento de uma circunferência:

C = 2.π.r

Como o raio é dado por 2.r = diâmetro, então:

r = diâmetro /2
r = 60 cm /2
r = 30 cm 

Adicionamos, agora, o valor do raio na fórmula da circunferência:

C = 2.π.30
C = 60π cm

Levando em consideração que o comprimento da circunferência se refere ao ângulo total do círculo, que é de 360º, podemos continuar as contas com regra de três:

360º — —  60π cm
60º  — — x cm

60 . 60 = 360 . x
3600 = 360 x

x = 3600/360

x = 10 cm

Perceba como a relação entre o arco, o ângulo e a circunferência foram essenciais para encontrar o percurso do pneu quando ele é virado em 60º.

Agora que já vimos um exemplo da aplicação dos arcos de ângulos na geometria plana e conhecemos a tabela trigonométrica para consulta de valores, vamos nos aprofundar na compreensão dos arcos somados ou subtraídos no panorama trigonométrico.

Soma de arcos 

Como em qualquer soma, quando dois arcos são adicionados entre si, um novo valor de ângulo é encontrado. Por exemplo, se somarmos 30º e 60º encontramos o ângulo de 90º.

Por mais que essas afirmações pareçam óbvias, é importante tomar cuidado: a soma das funções trigonométricas dos arcos não seguem o mesmo padrão. Por exemplo, se somarmos o sen 30º e o sen 60º não encontramos o valor do sen 90º, observe: 

sen 30º = ½
sen 60º = √3/2

sen 30º + sen 60º = (1+√3)/2  
sen 90º = 1

sen 30º + sen 60º ≠ sen 90º

Situação semelhante acontecerá com o cosseno e a tangente dos ângulos, seja na soma de arcos ou em sua subtração. Isso acontece porque a relação entre as funções trigonométricas não acontece de maneira linear: ela é dada pela projeção dos ângulos no ciclo trigonométrico. 

Veja, na imagem a seguir, que todos esses valores são retirados de triângulos retângulos que surgem na circunferência de raio 1. 

Arcos de ângulos: soma de arcos

Fórmula para operações com arcos: soma

Cosseno da soma

Com as manipulações matemáticas necessárias, foram encontradas fórmulas que sintetizam o estudo da soma de arcos e as funções trigonométricas, como você acompanhará abaixo. Considere dois ângulos genéricos dados por a e b.

cos (a+b) = cos(a).cos(b) – sen(a).sen(b)

Para memorizar fórmula do seno da soma de dois arcos, é possível lembrar da seguinte frase, muito famosa no mundo dos vestibulares:

Cosseno de a mais b é:
coça a, coça b;
troca o sinal,
sem sabê”

Na sonorização da estrofe entende-se um indicativo para a construção da fórmula, assim:

O termo “coça” faz referência à função cosseno e as consoantes esses (s) do último verso apontam para a função seno. A troca de sinais demonstra que os dois termos devem ser subtraídos quando deseja-se fazer a soma de arcos. De maneira análoga, eles devem ser somados se o objetivo é subtrair os arcos.

Seno da soma

sen(a+b) = sen(a).cos(b) + sen (b).cos(a)

E4-3555cb3529c8″ class=”textannotation”>ssa fórmula é, geralmente, decorada a partir da paródia de um poema famoso da literatura brasileira, escrito por lass=”textannotation disambiguated wl-person” itemid=”https://data.wordlift.io/wl110249/entity/goncalves-dias”>Gonçalves Dias

Na minha terra tem palmeiras onde 437-a7fe-44a5e1c2a3a2″ class=”textannotation”>canta o sabiá, 
seno a, cosseno b;
>seno b, cosseno a.”

Com isso, você se lembrará da ordem das operações e percebe que não será necessário trocar o sinal da operação no momento de montagem dos cálculos.

Tangente da soma

tangente da soma

Para essa operação, teremos a seguinte forma de memorizar:

“Tem gente que ama, tem gente que beija;
Hum (1), tem gente que ama e beija”

Note que o som de “tem gente” se assemelha ao de “tangente”, assim como as primeiras letras das palavras ama e beija, fazem analogia aos ângulos a e b. E, por fim, a expressão “hum” se refere ao numeral.

Subtração de arcos 

As fórmulas utilizadas para a ncement-368a321d-09d6-4249-afea-76f3f9fc9f12″ class=”textannotation disambiguated wl-thing” itemid=”https://data.wordlift.io/wl110249/entity/adicao”>soma e subtração de Fórmula para operações com arcos: subtração

Seno da diferença

sen (a-b) = sen(a).cos(b) – sen (b).cos(a)

Para aplicar a fórmula, é preciso tomar cuidado de sempre manter os valores de a e b, até que o valor do sen (a-b) seja encontrado. Ou seja, não realize a operação dentro do parênteses antes de solucionar a fórmula. Como demonstrado a seguir:

sen (a-b) = sen(a).cos(b) – sen (b).cos(a)

a = 90º
b = 30º

Vamos substituir a e b com cautela dentro da fórmula:

sen (90-30) = sen(90º).cos(30º) – sen (30º).cos(90º)

Embora 90º não esteja dentro dos ângulos notáveis da tabela trigonométrica, no ciclo trigonométrico, ele preenche completamente o eixo y. Então, sen 90º = 1. Ao mesmo tempo, seu posicionamento determina que cos 90º = 0.

sen (90-30) = 1.cos(30º) – sen (30º).0

Observe, com a substituição, que não será necessário preencher o valor de sen 30º, uma vez que será multiplicado por 0. 

sen (90-30) = 1.cos(30º) – 0

Então, segue-se o cálculo considerando o valor de cos 30º = √3/2

sen (90-30) = 1.√3/2 
sen (90-30) = √3/2

Agora que o cálculo está concluído, a subtração dentro do parênteses do seno pode ser concluída sem que haja confusão entre os valores de a e b. 

sen (90-30) = √3/2
sen (60º) = √3/2
sen (90-30) = sen (60º) = √3/2

Cosseno da diferença

cos (a-b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)

No geral, a aplicação da fórmula depende da substituição correta dos valores. Acompanhe a resolução de uma questão adaptada da Unitins 2016:

É correto afirmar que: I – o valor de sen (π + x) + cos (π/2 – x) para todo x ϵ R é igual a zero?

Primeiramente, aplica-se o conhecimento sobre seno da soma:

𝑠𝑒𝑛(𝜋+𝑥)=𝑠𝑒𝑛(𝜋).cos(𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥).cos (𝜋)

Lembre-se que os valores de l-thing” itemid=”https://data.wordlift.io/wl110249/entity/angulo”>ângulo podem ser convertidos em radianos. De sen 𝜋 = sen 180º = 0
cos 𝜋 = cos  180º = -1

Basta substituir esses valores o cálculo anterior:

𝑠𝑒𝑛(𝜋+𝑥)=0.cos(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥).(-1)
𝑠𝑒𝑛(𝜋+𝑥) = – sen(𝑥)

O segundo passo é analisar o cosseno da diferença entre 𝜋/2 e x.

cos (𝜋/2-𝑥) = cos(𝜋/2).cos(x) + 𝑠𝑒𝑛(𝜋/2).sen(x)

 𝜋/2 = 90º

sen 𝜋/2 = 1
cos 𝜋/2 = 0

Com as substituições corretas:

cos (𝜋/2-𝑥) = cos(𝜋/2).cos(x) + 𝑠𝑒𝑛(𝜋/2).sen(x)
cos (𝜋/2-𝑥) = 0.cos(x) + 1.sen(x)
cos (𝜋/2-𝑥) = 1 sen(x)

Ao estabelecer o cálculo fornecido pela afirmação teremos que:

sen (π + x) + cos (π/2 – x) =

– sen(𝑥) + sen (x) = 0, então a afirmativa está correta.

Tangente da diferença

tangente da diferença

A questão abaixo trata exatamente sobre a tangente da diferença e, inclusive, a banca da UERJ forneceu a fórmula completa para a resolução do exercício.

No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r.

questão sobre operações com arcos

A medida θ do ângulo CÂP pode ser determinada a partir da seguinte identidade trigonométrica:

O valor da tangente de θ é igual a:

a) 0,65

b) 0,60

c) 0,55

d) 0,50

Esse exercício nhancement-5d0919f5-2a03-40ba-adc9-241af3e4b1bf” class=”textannotation”>o”>soma conhecimentos de trigonometria, geometria plana e ângulos. Como o segmento AC é uma diagonal de um quadrado, o ângulo formado entre ele e a base AB mede 45°

Logo, temos que 𝜽 + 𝒙 = 𝟒𝟓°, ou 𝜽 = 𝟒𝟓°− 𝒙.

A tangente do ângulo 𝒙 pode ser calculada pela relação trigonométrica entre os catetos do triângulo ABP, sendo:

exercício sobre operações com arcos

Sabemos que 𝒕𝒈 𝜽 = 𝒕𝒈 ( 𝟒𝟓° − 𝒙 )

Fórmulas para operações com arcos duplos

Na trigonometria, um arco duplo é definido pela multiplicação de um ângulo em seu dobro, por exemplo, para 30º, o arco duplo vale 60º.

Ao somar ou subtrair dois ated wl-thing” itemid=”https://data.wordlift.io/wl110249/entity/arcos”>arcos de ângulos iguais, as fórmulas podem ser sintetizadas, da seguinte sen(a+a) = sen(a).cos(a) + sen (a).cos(a)

sen(a+a) = 2.sen(a).cos(a)

  • Cosseno do arco duplo 

cos (a+a) = cos(a).cos(a) – sen(a).sen(a)

cos (a+a) = cos(a)2 – sen(a)2

  • Tangente do arco duplo

Exemplo de operações com arcos duplos

As operações com temid=”https://data.wordlift.io/wl110249/entity/arcos”>arcos duplos são exploradas principalmente quando o enunciado requer a razão trigonométrica de um sen 120º = sen (60 + 60) = sen (2.60)

Para encontrar o valor, então, basta aplicar a fórmula com atenção.

sen(a+a) = 2.sen(a).cos(a)
sen(60 + 60) = 2.sen(60).cos(60)

sen 60º = √3/2
cos 60º = 1/2

sen(60 + 60) = 2. (√3/2) .cos(60)
sen(60 + 60) = √3 .cos(60)

sen(60 + 60) = √3 . 1/2
sen(60 + 60) = √3/2

sen 120º = √3/2

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