Imagine que você possui duas equações, com duas incógnitas e a sua missão é descobrir o valor que torna ambas verdadeiras. Essa é a ideia que norteia todo o estudo dos sistemas lineares, um tipo de ferramenta matemática muito frequente nas provas de vestibular.
Veja, a seguir, como são definidos os sistemas lineares e como podem ser classificados. Acompanhe também diferentes maneiras de resolver e encontrar o resultado das equações. Vamos lá!
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O que são sistemas lineares?
Os sistemas lineares podem ser definidos como um conjunto de N equações que possuem, juntas, N incógnitas. Por exemplo, um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, como o mostrado a seguir. Para sinalizar que as equações fazem parte de um sistema linear, é necessário adicionar o símbolo matemático da chave.
Equações lineares
Para compreender melhor os sistemas, é importante conhecer as equações lineares. Elas são expressões matemáticas constituídas de diferentes termos. Eles são definidos pela multiplicação entre um coeficiente am e uma incógnita qualquer.
Os termos são somados entre si para constituir a equação. No exemplo acima, temos 1x, 3y, 1z e assim por diante. Quando o termo não apresenta incógnita, mas somente um número “isolado”, consideramos que é um termo independente.
A representação de uma equação linear pode ser dada por:
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + a4.x4 + … + an.xn = bn
Ao considerar as definições acima, pode-se concluir que a melhor forma genérica de representar um sistema linear é a que está na imagem abaixo. Na qual são descritos todos os coeficientes (ann), as diferentes incógnitas e o termo independente (b).
Classificação dos sistemas lineares
Os sistemas lineares podem ser classificados de diferentes formas. Abaixo vamos entender quando é considerado um sistema determinado, indeterminado ou impossível.
Sistema possível e determinado (SPD)
Um sistema linear determinado é aquele em que as incógnitas possuem apenas um valor real que as satisfazem. O resultado é obtido com uma solução ou um conjunto solução que está contido entre os números reais.
O fato de considerar um sistema possível, indica que ele pode ser resolvido e possui uma resposta concreta. Veja um exemplo:
Para resolver esse sistema de equações, podemos isolar uma das incógnitas em uma das expressões.
vamos partir do isolamento de x, na expressão que está na parte debaixo da chave, assim:
z – x = 2
– x = 2 – z
x = -2 +z
x = z – 2
Com x isolado, podemos substituir seu valor na primeira equação linear da chave:
x + 2z = 19
( z – 2) + 2z = 19
z – 2 + 2z = 19
z + 2z – 2 = 19
z + 2z = 19 + 2
3z = 21
z = 7
Agora que encontramos o valor de z, você já pode substituí-lo em qualquer uma das equações e o valor de x será naturalmente expresso:
x = z – 2
x = 7 – 2
x = 5
Perceba que cada uma das incógnitas admitiu um só valor e existe apenas um conjunto real de números que representam a resolução desse sistema: S = {5,7}.
Sistema possível e indeterminado (SPI)
No caso de sistemas em que mais de um elemento pode ser a resposta para uma só incógnita, teremos um sistema possível e indeterminado. Geralmente, admite-se que eles possuem infinitas soluções.
É o caso de sistemas lineares em que as equações lineares são congruentes entre si. Ou seja, apresentam todos os coeficientes proporcionais, junto a suas incógnitas. Assim:
Observe que, se multiplicarmos a primeira equação por dois, teremos exatamente a expressão demonstrada na linha de baixo. Nesse caso, fica impossível determinar os valores de x e y, entretanto são possíveis infinitas soluções que tornem esse sistema linear real.
Sistema impossível (SI)
No caso dos sistemas impossíveis, não existem soluções reais que possam satisfazer as equações. Ou seja, os resultados seriam incongruentes entre si, no decorrer do cálculo.
Veja como as equações não podem ser resolvidas: a mesma soma resultando em valores diferentes é uma inconsistência matemática que torna o sistema impossível. Ou seja, a solução dele é nula ou vazia: S = Ø.
Representação matricial de um sistema linear
É possível representar os sistemas lineares a partir de matrizes, que são ferramentas matemáticas que imitam uma tabela, com elementos marcados com a notação aij.
O a é o elemento propriamente dito, i é a linha da matriz em que ele se encontra e, por fim, j é a coluna de localização do elemento. Um elemento a32 está na linha 3 e na coluna 2 de uma matriz A qualquer.
Para transferir a notação de matrizes para os sistemas lineares. Uma das tabelas deve representar os coeficientes das incógnitas, em outra teremos os coeficientes distribuídos em uma única coluna e, elas seriam multiplicadas. Como resultado dessa multiplicação, teremos uma tabela de coluna única com todos os termos independentes. Assim:
Como resolver sistemas lineares?
Método da substituição
A resolução de sistemas lineares com o método da substituição é aquela em que, isola-se a incógnita em uma das equações e depois a incógnita é substituída pela expressão algébrica que a representa nas outras equações do sistema.
Para escolher qual incógnita iremos isolar, pode-se escolher aquela que aparece com coeficiente 1 em várias das equações lineares. Assim, optamos por partir do isolamento da incógnita x:
x + 5z = 52
x = 52 – 5z
Com isso em mãos, podemos manipular a primeira equação, substituindo o valor de x por 52 – 5z:
x + y + 2z = 33
(52 – 5z) + y + 2z = 33
52 – 5z + y + 2z = 33
Agora, vamos agrupar todas as incógnitas iguais em um só termo. Bem como faremos as operações necessárias com o termo independente, de forma que alcançaremos um cálculo mais curto:
52 – 5z + y + 2z = 33
– 5z + 2z + y = 33 – 52
– 3z + y = – 19
Como é mais intuitivo trabalhar com valores positivos, podemos multiplicar toda a equação por -1:
3z – y = 19
Partimos, então, para o isolamento da incógnita y:
3z – 19 = y
Na segunda equação do sistema linear, atribuímos o valor 3z – 19 ao termo y:
y + z = 17
3z – 19 + z = 17
3z + z = 17 + 19
4z = 36
z = 9
Agora que encontramos o valor de z, basta substituí-lo na expressão de isolamento de y:
3z – 19 = y
3.(9) – 19 = y
27 – 19 = y
y=8
Por fim, substitui-de o valor de z na expressão que relaciona o valor de x e de z:
x = 52 – 5z
x = 52 – 5.(9)
x = 52 – 45
x = 7
Assim, apenas com a manipulação e substituição das expressões encontramos os valores de x, y e z, que compõem o conjunto solução: S = {7,8,9}. Esse é um sistema que não admite múltiplas soluções e, por isso, é possível e determinado (SPD).
Método da soma ou da adição
No método da soma, manipulam-se as equações, de maneira que a adição entre elas forneça incógnitas com coeficientes nulos, ou seja, deixe uma incógnita isolada. Acompanhe o desenvolvimento:
Vamos escolher nomes para as equações, o que facilitará o entendimento:
I → 3x + y = 40
II → x + 2y = 20
Como queremos desaparecer com uma das incógnitas, podemos multiplicar uma das expressões. Para isso, escolhemos um valor que facilite a eliminação. No caso anterior, se multiplicarmos toda a expressão II por -3:
x + 2y = 20
-3.(x+2y) = -3.20
equação II: -3x – 6y = -60
Com essa nova expressão, façamos a soma entre as equações I e II.
Perceba que a expressão fornecida pela soma das equações permite descobrir o valor de y:
0x – 5y = -20
-5y = -20
y = -5 /- 20
y = 4
Seguimos com a substituição do valor de y=4 na equação I:
3x + y = 40
3x + 4 = 40
3x = 36
x = 12
S = {12,4}
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