Ângulos notáveis: tabela, demonstração, dicas e questões

Ângulos notáveis: tabela, demonstração, dicas e questões

Os ângulos notáveis são valores de ângulos e suas funções trigonométricas que aparecem com frequência no cotidiano e nas provas de vestibulares. Conhecer esses números facilita no desenvolvimento de cálculos em diversas áreas da matemática, como geometria plana, espacial, analítica, trigonometria, física óptica e muito mais. 

Neste resumo, você encontra os principais ângulos matemáticos e seus valores de seno, cosseno e tangente. Veja também como encontrar esses números e onde eles estão situados no ciclo trigonométrico. Depois, vamos descobrir dicas e macetes importantes com a resolução comentada de exercícios de prova. Vamos lá?

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Quais são os ângulos notáveis?

Os principais ângulos, ou ângulos notáveis, são aqueles que aparecem com mais frequência em diversos problemas matemáticos. Em geral, é importante conhecê-los e decorar algumas de suas características também. 

Vamos tratar, principalmente, dos valores de 30º, 45º e 60º. Mas saiba, também ,que é importante conhecer ângulos com 0º, 90º, 180º e 360º, que serão discutidos mais adiante. 

Lembre-se, quando tratamos sobre o grau de abertura de um vértice, estamos no campo da trigonometria. Nesse sentido, saiba que seno, cosseno e tangente são razões trigonométricas que relacionam um ângulo com as projeções de sua reta nos eixos cartesianos. Essa padronização é obtida por meio do ciclo trigonométrico.

Ciclo trigonométrico, importante para encontrar razões em Ângulos notáveis
Imagem: Reprodução/Wikimedia

Tabela de ângulos notáveis

sencostg
30º1/2√3/2√3/3
45º√2/2√2/21
60º√3/21/2√3

Veja que a tabela relaciona os ângulos notáveis com suas respectivas funções trigonométricas. Em cada linha, você pode descobrir o seno, o cosseno e a tangente do grau de abertura em questão. 

Para construir essa tabela, existe uma paródia da música natalina Jingle Bells, que ajuda na memorização dessas funções trigonométricas, veja:

“Um, dois, três,
Três, dois, um, 
todos sobre dois.

A raiz vai no três 
e também no dois.

A tangente é diferente vejam só vocês:
raiz de três, sobre três 
Um,
 raiz de três.”

A canção deve ser entoada enquanto a tabela se monta. Primeiro, são formadas as duas primeiras colunas, colocando um número em cada casela. Depois, todas as cédulas torna-se frações, com divisão por dois, assim:

Construção de tabela, ângulos notáveis

Depois, em todos os números dois ou três que estejam no numerador das frações, serão colocados sobre raízes quadradas

Dicas de tabela, ângulos notáveis

Depois, completa-se a última coluna da tabela, exatamente como está descrito nos versos da última estrofe.

tabela: ângulos notáveis

Como são encontradas as funções dos ângulos notáveis?

As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente podem ser encontradas por meio do ciclo trigonométrico. Mas o princípio que norteia esse conhecimento parte do estudo da trigonometria no triângulo retângulo. 

Imagem: Reprodução/Wikimedia

Em um triângulo retângulo, o lado que fica imediatamente oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Depois, é preciso definir um ângulo de destaque para encontrar as razões trigonométricas. 

No exemplo acima, considere que  é o ângulo em questão. Então, o lado do triângulo que está oposto a ele é chamado de cateto oposto, enquanto que o lado que forma o ângulo  juntamente com a hipotenusa é o cateto adjacente. A partir desses conceitos, admite-se que:

seno  = cateto oposto / hipotenusa
cosseno  = cateto adjacente / hipotenusa
tangente  = cateto oposto / cateto adjacente

Com todas essas fórmulas definidas e também a padronização do ciclo trigonométrico de raio 1, fica mais fácil definir as razões para os ângulos notáveis. Acompanhe:

demonstração ângulos notáveis
Imagem: Adaptação/Wikimedia

Primeiro, encontramos o ângulo de 30º no ciclo trigonométrico e, a partir disso, ampliamos o triângulo retângulo formado entre o raio do círculo e as projeções dessa reta sobre o eixo x e o eixo y.

Perceba que raio = 1 e, nesse caso, o raio representa a hipotenusa do triângulo retângulo. O valor de 60º foi encontrado porque, obrigatoriamente, a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a 180º.

Agora, vamos estabelecer as funções trigonométricas para 30º. Olhe para o triângulo retângulo A e perceba que, o cateto imediatamente oposto a ele mede ½ (co = 1/2), o cateto que está próximo ao ângulo tem √3/2 de comprimento (ca = √3/2). Com isso:

seno 30º = cateto oposto / hipotenusa = (½)/1 ⇒ sen 30º = 1/2
cosseno 30º = cateto adjacente / hipotenusa = (√3/2)/1⇒ cos 30º = √3/2
tangente 30º = cateto oposto / cateto adjacente = (1/2) / (√3/2)  ⇒ tg 30º = √3/3

Depois, com procedimentos semelhantes aos que foram utilizados anteriormente, vamos descobrir as razões trigonométricas para o ângulo de 60º. Lembre-se de que, dessa vez, os catetos opostos e adjacentes têm valores invertidos: ca = ½ e co = √3/2.

seno 60º = cateto oposto / hipotenusa = (√3/2)/1 ⇒ sen 60º = √3/2
cosseno 60º = cateto adjacente / hipotenusa = (½)/1  ⇒ cos 60º =  ½
tangente 60º = cateto oposto / cateto adjacente = (√3/2) / (1/2) ⇒ tg 60º = √3

É importante notar que os valores de seno e cosseno de ângulos complementares (que juntos somam 90º) serão invertidos, ou seja, o seno de um é o cosseno do outro. É exatamente isso que observamos entre 30º e 60º.

Por fim, vamos encontrar as razões trigonométricas de 45º. Em um quadrado, uma diagonal que parte de um vértice a outro divide o ângulo de 90º graus em dois ângulos de 45º. Diante disso, são formados dois triângulos retângulos. Vamos estudar um desses, para um quadrado de lado igual a 1.

triângulo
Imagem: Reprodução/Wikimedia

Perceba que, em triângulos como esse, os catetos possuem valores iguais. Então, seguimos o estudo substituindo ca = co = 1. Ao mesmo tempo, está definido que a diagonal de um quadrado é igual a L.√2, por isso, nesse caso, a hipotenusa é igual a 1.√2 ⇒ hipotenusa = √2,

seno 45º = cateto oposto / hipotenusa = 1/√2 ⇒ sen 45º = √2/2

cosseno 45º = cateto adjacente / hipotenusa =  1/√2 ⇒ cos 45º = √2/2

tangente 45º = cateto oposto / cateto adjacente = √2/√2 ⇒ tg 45º = 1

+ Veja também: Arcos e ângulos: o que são, circunferência e como medir

Outros ângulos importantes

Por fim, conheça também outros ângulos importantes e seus valores de seno e cosseno:

sencos
01
90º10
180º0-1
270º-10

Questão de vestibular sobre ângulos notáveis

(Enem/2010)

Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º.

Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?

a) 1,8km
b) 1,9km
c) 3,1km
d) 3,7km
e) 5,5km

Considera-se que a altura do balão é o cateto oposto para o ângulo de 60º, com cateto adjacente de 1,8km. Ao mesmo tempo, é também cateto oposto de 30º, quando o cateto adjacente mede 1,8 + 3,7 km. 

A partir disso, vamos utilizar as razões trigonométricas dos ângulos notáveis e descobrir a altura de queda. 

 tg 60º = √3

tangente 60º = cateto oposto / cateto adjacente

√3 = altura / 1,8 
√3.1,8 = altura
altura = 3,11 km

tg 30º = √3/3

tangente 30º = cateto oposto / cateto adjacente

√3/3 = altura / 1,8 + 3,7
√3/3 = altura / 5,5
5,5 . (√3/3)  = altura
altura ≃ 3,1 km

Note que o conhecimento sobre o valor da tangente de pelo menos um dos ângulos notáveis seria suficiente para responder a questão com a alternativa correta, a letra C

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