A equação do segundo grau é um tipo de expressão matemática em que a incógnita é elevada à segunda potência. Muito famosa pelas suas aplicações e fórmulas de resolução, como Bháskara e Soma e Produto, elas aparecem com frequência nos vestibulares nacionais. Continue lendo para conhecer melhor esse tipo equacional!
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Equação do segundo grau: definição
Uma equação do segundo grau possui a forma geral tal que ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a é, obrigatoriamente diferente de zero. As informações abaixo trazem essa regra em símbolos matemáticos:
ax2 + bx + c = 0
a ∈ R, a ≠ 0
b ∈ R
c ∈ R
Nesse tipo de equação, é necessário que o coeficiente principal (a) seja diferente de zero, para garantia de que seja uma equação do segundo grau — quando existe uma incógnita elevada ao quadrado.
A letra b será chamada de coeficiente secundário, enquanto “c” é o termo independente da equação, ou seja, não está ligado a nenhuma incógnita. Veja, a seguir, alguns exemplos de contas matemáticas, se são ou não equações do segundo grau:
12x2 + 2x + 5 = 0
Em primeira instância é preciso deixar a expressão o mais próximo possível da fórmula geral da equação de segundo grau. Como você pode observar, essa conta está disposta de maneira em que:
ax2 + bx + c = 0
12x2 + 2x + 5 = 0
a = 12
b = 2
c = 5
Como a ∈ R, a ≠ 0, b ∈ R e c ∈ R, pode-se dizer que 12x2 + 2x + 5 = 0 é uma equação do segundo grau.
25x2 + 4x + 7 – 12x2 + 8 – 13x2 = 0
À semelhança do que foi feito no item anterior, vamos tentar aproximar essa expressão geral, para isso, vamos agrupar e calcular todos os itens que possuem incógnitas iguais, bem como os termos independentes:
25x2 + 4x + 7 – 12x2 + 8 – 13x2 = 0
25x2 – 12x2 – 13x2 + 4x + 7 + 8 = 0
25x2 – 25x2 + 4x + 15 = 0
0x2 + 4x + 15 = 0
Na comparação com ax2 + bx + c = 0 teremos que: a=0, b=4 e c=15. Mesmo que b ∈ R e c ∈ R, observa-se que a=0, descumprindo a ordem de que “o coeficiente principal da equação de segundo grau deve ser pertencente aos Reais e diferente de zero”.
Por essa razão, a expressão “25x2 + 4x + 7 – 12x2 + 8 – 13x2 = 0” não pode ser considerada de segundo grau.
Tipos de equação do segundo grau
As equações do segundo grau são divididas em completas e incompletas. A classificação leva em conta o valor dos coeficientes b e c, se são iguais ou diferentes de zero.
Equação do segundo grau incompleta
Nos casos em que pelo menos um dos coeficientes b e c são iguais a zero, entende-se que a equação é incompleta.
Para facilitar a compreensão, basta relacionar essas informações com a expressão geral que foi citada anteriormente: ax2 + bx + c = 0 — se os coeficientes b e c forem diferentes de zero, “faltará” um termo na escrita da equação, tornando-a incompleta.
Exemplos:
- 2x2 + 4 = 0 → a=2, b=0, c=-4 → equação do segundo grau incompleta;
- -5x2 + 7x = 0 → a=-5, b=7, c=0 → equação do segundo grau incompleta; e
- 12x2=0 → a=-5, b=0, c=0 → equação do segundo grau incompleta.
Equação do segundo grau incompleta
No lado oposto, uma equação completa do segundo grau é aquela em que todos os coeficientes (a, b e c) são diferentes de zero, como observamos nos exemplos abaixo.
- 13x2 – 9x + 6 = 0 → a=13, b=-9, c= 6 → equação do segundo grau completa; e
- 65x2 + 13x – 9 = 0 → a=65, b=13, c= -9 → equação do segundo grau completa.
Fórmulas para resolução
Uma equação do segundo grau pode ter, no máximo, duas respostas possíveis. Para saber se ela terá nenhuma raiz real, apenas uma, ou duas raízes reais, é necessário encontrar o valor discriminante (Delta). Veja no tópico a seguir!
Fórmula do Delta
Δ = b² – 4ac
Essa é fórmula do Delta (Δ), que leva em consideração todos os coeficientes da expressão geral ( ax2 + bx + c = 0). Quando delta é menor que 0, não é possível que a equação possua raízes reais — mais a frente discorreremos sobre esse ponto.
Então, é importante que Δ ≥ 0. De forma que:
- quando Δ=0 haverá apenas uma raiz real; e
- se Δ>0 existem duas raízes reais possíveis como resolução da equação do segundo grau.
Fórmula de Bháskara
Depois de encontrar o valor de Δ e assumir que a equação do segundo grau possui, ao menos, uma raiz real, é possível colocar o valor do discriminante na fórmula de Bháskara e encontrar os valores dessas raízes.
Observe que o valor do discriminante Δ é o que está dentro da raiz quadrada na fórmula (Δ = b² – 4ac).
Raízes quadradas só podem ser resolvidas, no conjunto dos números reais, quando o valor dentro delas é maior ou igual a zero. É por isso que, quando Δ<0, não podem ser encontradas resoluções reais para a incógnita da equação.
Fórmula da soma e produto das raízes
Uma outra maneira de resolver uma equação do segundo grau é por meio da soma e do produto das raízes da expressão. Sejam as raízes possíveis x1 e x2, teremos que:
x1 + x2 = -b/a
x1.x2 = c/a
Como resolver uma equação do segundo grau?
x2 + 4x – 32 = 0
Primeiro passo: encontrar o delta
Δ = b² – 4ac
Δ = 4² – 4.1.(-32)
Δ = 16 – (– 128)
Δ = 16 + 128
Δ = 144
Uma vez que o delta é maior do que zero, é possível assumir que a equação possui duas raízes no conjunto dos números reais.
Segundo passo: utilizar a fórmula de Bhaskara:
+ Veja também: Equação do primeiro grau: o que é, tipos, como resolver e questões
Como resolver um sistema de equações?
Veja a resolução do exercício abaixo, que utiliza um problema para culminar em um sistema de equações e uma expressão do segundo grau.
OBMEP 2005
Para cercar um terreno retangular de 60 metros quadrados com uma cerca formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno?
a) 4 m
b) 7 m
c) 11 m
d) 17 m
e) 28 m
Se considerarmos as dimensões do terreno retangular como x e y, sabemos que a multiplicação entre elas dará a área do terreno, bem como a soma do perímetro fornece a metragem de cada arame.
x.y = 60
2. (2x+2y) = 64
Vamos simplificar as equações e substituir a incógnita y na primeira expressão fornecida no sistema linear:
x.y=60
2x + 2y = 32
x.y=60
2(x +y) = 32
x +y = 16
x.y = 60
y = 16 – x
x.(16 – x)=60
16x – x2 = 60
Veja que, agora, encontramos uma equação do segundo grau. Para facilitar os cálculos, é importante fazer com que a conta fique o mais parecida possível com ax2 + bx + c = 0.
16x – x2 = 60
0 = 60 + x2 – 16x
x2 – 16x + 60 = 0
Agora, resolvemos a equação em Bháskara:
Δ = b² – 4ac
Δ = (-16²) – 4.1.60
Δ = 256 – 240
Δ = 16
√Δ = √16
√Δ = 4
x1 = (16 – 4) / 2.1
x1 = 12 / 2
x1 = 6
x2 = (16 + 4) / 2.1
x2 = 20/2
x2 = 10
Com esses valores em mãos, basta substituir ambos na primeira equação para encontrar quanto vale y.
x + y = 16
Para x1:
6 + y = 16
y = 10
A diferença entre a largura e o comprimento do terreno será dada por y – x = 10 – 6 = 4 m.
Para x2:
10 + y = 16
y = 6
A diferença entre a largura e o comprimento do terreno será dada por x – y = 10 – 6 = 4 m.
Em ambos os casos, seja com x1 ou x2, a alternativa correta é a letra a.
+ Veja mais: Sistemas lineares: o que são, como resolver e aplicações
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