Equação Funcional: definição, tipos e aplicações

Na matemática, temos diversos tipos de conteúdo, a equação funcional é um exemplo deles que envolve conhecimento de vários conceitos, como funções, substituições, teoria de conjuntos, aplicação de diversas propriedades, entre outros.

Em vista disso, ela é usualmente vista nas olimpíadas de matemática, já que demanda a aplicação de diversos tipos de conhecimentos para resolver os problemas. Veja no artigo do Estratégia Vestibulares mais detalhes sobre o que é equação funcional, como identificar e algumas de suas aplicações.  

Conceitos básicos das equações funcionais

Quando vamos resolver uma simples equação, chegamos a um resultado que depende de uma variável x, por exemplo. As equações funcionais são aquelas que, no sistema de equações formado quando estamos resolvendo o problema, as variáveis desse sistema são funções, elas podem ser funções conhecidas ou funções desconhecidas, e pretendemos encontrar as funções desconhecidas como resposta.

Para resolver este tipo de problema, é necessário encontrar funções que satisfaçam a equação. É importante testar todas as soluções encontradas, pois pode aparecer uma função que não satisfaça a equação no momento da resolução.

Ao solucionar uma equação funcional, é necessário conhecimentos básicos relacionados tanto a funções, quanto a equações. Diferenciamos as equações algébricas comuns das equações funcionais da seguinte forma:

• Equação algébrica é definida com um conjunto de operações com uma coleção de termos que envolvem uma incógnita x, por exemplo: x² + 7x + 16 = x – (7 + x)² ou 2x + 3 = 0;
• Equações funcionais são compostas por variáveis e funções, assim sendo formada como uma expressão que resulta em uma função, por exemplo: f(x-1) + 2 = x * f(x) ou f(f(x)+y) = 2f(x2)+3f(xy). 

Domínio e Contradomínio

Domínio e contradomínio são conceitos construídos a partir da definição de função, e são utilizados na resolução de equações funcionais para determinar o conjunto de valores que as funções e as variáveis podem assumir.

Definindo uma função, temos que, dado dois conjuntos A e B, a função f: A→B associa cada elemento do conjunto A com algum elemento do conjunto B. 

Por exemplo, se A = {1,2,3} e B = {a,b,c,d}, definindo a função f: A→B como f(1)=a, f(2)=c, f(3)=b. Temos que o conjunto A é domínio da função f e todo o conjunto B será o contradomínio da função f. Já a imagem da função será os elementos do conjunto B que estão associados aos elementos do conjunto A.

Ainda sobre funções, a propriedade de sobrejetividade da função diz respeito a quando o conjunto contradomínio é igual ao conjunto Imagem, e a propriedade de injetividade é verdadeira quando cada elemento do domínio possui uma imagem diferente e, por fim, a propriedade da bijetividade ocorre quando a função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Tipos de equações funcionais

Ao tratarmos sobre equações funcionais, podemos nos deparar com diversos tipos. As principais categorias são aditivas, multiplicativas, Cauchy e Jensen. 

Equações aditivas

As equações aditivas são funções do tipo f(x+y) = f(x) + f(y)  para todo x e y pertencente ao conjunto dos Reais, isso significa que, dado dois valores x e y, a função da soma desses dois valores é a igual a função do primeiro valor somada a função do segundo valor. 

Observa-se também que a partir da aditividade, é possível notar que essa soma pode ser repetida mais de uma vez, dá seguinte forma:

f(x₁+x₂+…+x_k) = f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_k) = k*f(x) = f(kx)

onde o x é um valor, e o mesmo x é somado uma quantidade k de vezes. Um exemplo prático:

Dado f(x) + f(y) = y*f(x), vamos determinar as funções reais que obedecem essa regra.

Assumindo x = n – f(0) e y = 0, temos que:

Logo, f(x) = 0 para qualquer valor de x é a solução

Equações multiplicativas

A equação multiplicativa é da forma f(xy) = f(x) * f(y) para x e y pertencendo ao conjunto dos Reais, ou seja, a função do produto de dois valores, é igual a função de um valor multiplicado pela função de outro valor. Disso podemos tirar que, quando f(k) = k temos que:

Equação funcional de Cauchy

A equação aditiva de Cauchy é a equação do tipo f(x+y) = f(x) + f(y)  para qualquer x e y pertencentes ao conjunto ℚ (racionais), semelhante a aditiva, sua resolução gera informações muito importantes para conseguir fazer determinadas substituições nas expressões.

Para f(x) = ax, para qualquer x e qualquer a do conjunto dos números racionais, temos como solução para f(1) = a. 

Note que, se fizermos f(x + 1) = f(x) + f(1) = f(x) + a, da mesma forma que f(-(x + 1)) = f(-x) + f(-1).

Pela afirmação acima se fizermos f(0) temos como resultado:

Dessa forma provamos que f(x) = ax

Equação funcional de Jensen

Jensen foi outro matemático que estudou equações funcionais e que não é muito conhecido, sua equação é dada pela expressão:

Ela sobre a função aplicada na média de dois valores, ser igual a média de duas funções.

Estratégias de resolução de equações funcionais

Os problemas que envolvem equações funcionais são muito utilizados em olimpíadas de matemática, já que não possuem um método definitivo de resolução e demandam bastante treino. Então, aprender a manipular a equação a fim de obter informações sobre a função é fundamental para resolver este tipo de problema. Algumas das estratégias de substituição inteligente mais adotadas são:

• Observar o domínio e contradomínio das funções envolvidas que serão determinantes para a resolução dos problemas;
• A substituição de valores específicos para a variável, por exemplo -1, 0 ou 1, para que, dependendo da equação, possam ser canceladas ou simplificadas;
• Fazer substituições de modo a se obter uma única variável na equação, como por exemplo fazer x=y e x=-z;
• Substituição para conseguir cancelamento de variáveis na equação é fazer y=-x; e
• Colocar uma expressão em função de uma nova variável caso seja necessário, como por exemplo se tivermos 5(f(f(x)), faríamos a substituição g = f(x), obtendo assim a expressão 5 * f(g).

Indução matemática:

A indução matemática também está presente para a resolução de equações funcionais, dominar essa técnica para provar que uma possível solução é válida para todos os valores do domínio é essencial para fazer a prova real da solução encontrada.

Por indução, é possível verificar que uma solução é válida provando para f(n+1) a partir de f(n) com n pertencente ao conjunto dos naturais, depois dos racionais, por fim para os reais provando que a função é contínua no intervalo. 

É possível construir a solução usando casos base e as propriedades de funções para encontrar resultados corretos, utilizamos essa técnica quando falamos sobre a equação de Cauchy. 

Exemplos e aplicações:

A seguir vamos ver alguns exemplos e utilizar a equação funcional de Cauchy, que é um exemplo clássico para entender a como fazer substituições de forma de encontrar a solução geral.

Supondo a seguinte situação: uma função aditiva f: ℝ→ℝ tal que x = y =0, temos que:

Também podemos fazer a substituição y=-x, assim obtendo:

essa é a demonstração que qualquer função aditiva é ímpar.

Outro exemplo as funções para qualquer x e y em que f(xy) = x*(fx) + y*(f(y), se y = 1, temos que:

Se x = 1, f(1) = 0, daí temos que para quaisquer valores de x, f(x) = 0, pois

Aplicando o exemplo a uma questão, se tivermos f: ℝ→ℝ e f(x + y) = x + f(y) e que f(0) = 2 e quisermos o valor de f(100), resolvermos da seguinte maneira:

Como já temos f(0) = 2, atribuímos x = 100 e y = 0, assim

Estuda com a Coruja para suas provas!

Aqui no EV temos os conteúdos completos sobre o que mais aparece nos vestibulares, você pode escolher o pacote que melhor atende suas demandas para o curso que deseja passar. Dessa forma, você prioriza as áreas de estudo que mais precisa focar para fazer o curso dos seus sonhos. Para saber mais, acesse: