Funções: definição, características e tipos

Em matemática, uma função é responsável por adicionar valores x em um cálculo, fornecendo um resultado y. Elas possuem utilidades para fórmulas da matemática e de outras áreas do conhecimento, construção de gráficos, compreensão do padrão de crescimento, observação de lucros e prejuízos comerciais, entre outros usos. 

Diante disso, a maior parte dos vestibulares nacionais cobram conhecimentos sobre funções, seja para a construção do cálculo, interpretação de gráficos e resultados, ou construção de padrões matemáticas. 

As funções são divididas em diferentes tipos, conforme os cálculos que contém, como logarítmicas, de primeiro e segundo grau, exponenciais e afins. Neste artigo, você encontra um breve resumo sobre as principais classificações funcionais e como podem ser cobradas em prova.

Definição de função

Uma função pode ser definida como uma entidade matemática utilizada para relacionar conjuntos numéricos não vazios. Isso significa, por exemplo, que existe um cálculo funcional para associar dois conjuntos A e B, que contêm pelo menos um elemento cada. 

Esses conjuntos podem possuir de um até infinitos elementos. Em muitos casos, são determinados pelos números reais (|R). Em outros casos, o valor de x pode ser limitado aos números inteiros, números pares, entre outras definições, conforme o enunciado das questões ou características da conta.

Como os cálculos permitem que o número x (entrada) seja transformado em outro valor  y (saída), muitos estudiosos comparam as funções com máquinas. Afinal, o número de entrada será processado e resultará em um valor de saída específico.

Para ser considerado uma função, o cálculo deve ser construído de forma que cada elemento do conjunto A se relacione com apenas um elemento do outro conjunto B. De forma que não haja resultados diferentes para o mesmo valor de entrada. Ou seja, se uma função f transformar 4 em 8, é esperado que todas as vezes que o número 4 for adicionado ao cálculo, o resultado seja 8. 

Pense nas funções como cálculos de gastos e lucros. Se os gastos de uma empresa forem fixos e o valor de seus produtos não variam, se eles venderem o mesmo número de mercadorias em dois meses, o lucro deve ser exatamente igual nos dois períodos.

Por exemplo, o cálculo abaixo relaciona o conjunto A ao conjunto B. De forma que os elementos de A serão substituídos por x, enquanto que os resultados y devem ser componentes do conjunto B. 

f: A →B 

f: x + 2 = y 

Observe que, independentemente do valor de x, as operações matemáticas realizadas com ele serão sempre as mesmas. Isso cria um padrão específico para função, que é uma característica dessa entidade matemática. 

Conceitos em funções

Agora que você já conhece a definição básica de funções, é importante entender conceitos matemáticos que norteiam os cálculos funcionais. São necessários para encontrar uma equação e defini-la ou não como função. 

Relações Binárias

Entre os conjuntos numéricos A e B de uma função, há um conceito chamado de relação binária. Como foi mencionado anteriormente, cada elemento de A se relaciona com apenas um elemento de B. 

Para representar essa definição utilizamos a notação de par ordenado, que é descrita como (a,b). Isso significa que o elemento a (do conjunto A) possui uma relação binária com o elemento b (do conjunto B). 

Por exemplo, observe a função f: A → B, f (x) = x.5 

f (x) = x.5 = y

f (4) = 4.5 = 20 

Os cálculos apontam que, quando x = 4, y = 20. Como x é um elemento do conjunto A, podemos considerar que x = a = 4, da mesma forma que y é um elemento de B, então y = b = 20. Assim, o par ordenado desse exemplo é  (a,b) = (x,y) = (4,20).

Inclusive, a forma de representação é muito importante nesse assunto, porque (a,b) ≠ (b,a). Afinal, (b,a) determina que x = b, então toda a ordem da função seria alterada, de forma que o f: B → A e as operações matemáticas seriam completamente diferentes. 

Domínio, Contradomínio e Imagem

Uma vez que uma função é definida, é possível admitir três nomenclaturas para os conjuntos numéricos: domínio, contradomínio e imagem. Todos eles possuem de 1 até infinitos elementos e são importantes para delimitar os valores de entrada e saída das funções.

O conjunto domínio (D) contém todos os elementos que serão transformados pela fórmula da função, ou seja, são os valores de entrada. No contradomínio (C) estão todos os resultados possíveis para aquele cálculo, todas as possibilidades de saída, independente dos elementos presentes em D. Já a imagem (Im) da função abriga os resultados possíveis para a função, quando x é um elemento do domínio (x ∈ D). 

Acompanhe o exemplo:

 conjunto A {1,3,5,7,9}

conjunto B = conjunto dos números reais

f: A → B 

f (x) = x + 1

Note que o domínio (A) da função contém 5 elementos, que resulta em: 

x = 1, y = 2

x = 3, y = 4

x = 5, y = 6

x = 7, y = 8 

x = 9, y = 10 

De fato, o contradomínio (B) contém todos os números reais. Entretanto, quando x ∈ A, os resultados possíveis serão limitados a 2, 4, 6, 8, 10 e essa é a imagem da função apresentada acima. 

Injeção, sobrejeção e bijeção

Utilizando os conhecimentos de contradomínio, domínio e imagem, é possível classificar as funções em bijetoras, injetoras e sobrejetoras. 

• Uma função é considerada injetora quando o contradomínio é igual à imagem;
• Funções sobrejetoras são aquelas em que dois elementos do domínio resultam em um mesmo valor de y; e 
• Uma função é chamada de bijetora se todos os elementos do domínio resultam em valores diferentes de y, de forma que o contradomínio é igual à imagem.

Paridade da função

As funções também podem ser classificadas em pares ou ímpares, quando:

• f(-x) = f(x), é considerada uma função par. Isso significa que o conjunto imagem será o mesmo quando o valor de entrada for x ou -x; ou 
• f(-x) = -f(x), será chamada de função ímpar.

Tipos de funções

Uma vez que definição de funções foi estabelecida, é importante entender que elas podem ser classificadas conforme o tipo de cálculo, em termos de graus, presença de módulos, logaritmos, exponenciais e outras entidades da matemática.

Função polinomial do primeiro grau

As funções de primeiro grau são aquelas em que a incógnita está restrita ao grau 1, com a fórmula geral dada por: 

f(x) = ax + b

Em termos de gráfico, os coeficientes a e b são determinantes para a construção do gráfico da função, de forma que:

• coeficiente “a” determina o coeficiente angular, em relação ao ângulo entre o gráfico da função e o eixo x; e 
• coeficiente “b” é o coeficiente linear, que determina o valor de y quando x=0. 

Por fim, é importante mencionar que as funções de primeiro grau formam um gráfico em formato de linha reta.

Função linear e função identidade

A função linear é um tipo de função de primeiro grau, mas aqui o coeficiente linear é nulo (b=0). 

f(x) = ax

A função identidade, por sua vez, é um tipo de cálculo do primeiro grau, do tipo linear. O ponto principal é que b=0 e a=1. Ou seja a função identidade é determinada como:

f(x) = 1x

f(x) = x

Função polinomial do segundo grau ou quadrática

Para ser considerada uma função do segundo grau, a lei de formação precisa de no mínimo uma incógnita elevada ao quadrado. O gráfico forma um formato de parábola, que pode estar virada para cima ou para baixo no plano cartesiano.

f(x) = ax²+ bx + c

Assim, coeficiente a ≠ 0,  para garantir que haja pelo menos uma incógnita em segundo grau exponencial.

Função modular

Uma função modular é aquela que possui pelo menos uma incógnita dentro de módulos. Em geral, elas apresentam uma similaridade gráfica, já que |-x|=x=|x|. Sua lei de formação mais básica é dada por:

f(x)=|x|

f(x)=|-x|

Função exponencial

As funções exponenciais são determinadas por um incógnita que é o expoente de algum coeficiente da equação, como mostrado a seguir:

f(x)=a^x

a>1 ou 0<a<1

O gráfico é formado por uma assíntota que nunca toca o eixo x (y=0), já que não há nenhuma potência igual a zero.

Função logarítmica

A função logarítmica é o tipo oposto da função exponencial. Nesse caso, é necessário que haja um logaritmo no cálculo, em que o logaritmando seja a incógnita. 

f(x) = log_a x

Devido às propriedades dos logaritmos, é necessário que a>0 e a≠1. Como esse tipo de operação é imediatamente oposto à função exponencial, o gráfico também é um assíntota. Aqui, porém, o desenho nunca toca o eixo y (x=0), porque não existe logaritmando igual a 0. 

Função composta

Funções compostas acontecem quando uma lei de formação é colocada dentro de outra. Para a notação é utilizada a letra que denomina a função + o +  letra que representa a outra função. Por exemplo, existem as leis de formação:

f(x) = ax + b

g(x) = cx + d

fog = f(g(x))

gof = g(f(x))

Para fazer a composição entre elas, basta adicionar uma das funções como incógnita. Depois, é necessário substituir a incógnita pela expressão que está dentro do parênteses. Acompanhe abaixo:

f(x) = ax + b

fog = f(g(x)) = ax + b

f(g(x)) = a(g(x)) + b

f(g(x)) = a(cx + d) + b

Função inversa

Uma função inversa (f^-1) é aquela que inverte o domínio e a imagem de f. Basicamente, seja f: A → B, sua inversa será f^-1: B → A. Para que qualquer função possa ser invertida, é necessário que ela seja classificada como bijetora. 

Translação de função

As funções podem sofrer um processo de translação, quando seu gráfico é deslocado em alguma direção do plano cartesiano. Por exemplo, ir mais para a esquerda/direita ou para cima/baixo. Para que isso aconteça, é necessário alterar a lei de formação da função.

Na imagem acima, note que os dois triângulos F e F’, bem como os segmentos de reta v e r_v possuem o mesmo formato, inclinação e tamanho. A diferença entre eles é a posição dentro do plano cartesiano. 

Para subir o gráfico da função, adiciona-se um valor k ao seu resultado final (f(x) + k), assim todos os valores de y serão maiores do que o original, o que leva o desenho para cima no plano cartesiano. De forma análoga, a descida do gráfico está atrelada à subtração de y (f(x) – k).

No caso da movimentação horizontal, deve-se subtrair um valor h da própria incógnita para fazer os cálculos, assim o desenho fica mais para direita (f(x-h)). Na translocação horizontal para a esquerda, é preciso somar h na incógnita (f(x+h)). 

Análise de gráficos

Analisar os gráficos de funções permite entender a relação entre dois valores, por exemplo, entender a partir de que ponto uma empresa passa a ter lucro ou prejuízo. Ou então, o padrão de crescimento de um ser humano, a depender da idade, sexo e etnia, entre outros fatores. 

A seguir, conheça o plano cartesiano, ambiente matemático em que são descritos e desenhados os gráficos, e depois acompanhe a resolução de uma questão de vestibular sobre esse assunto.

Plano Cartesiano

Uma vez que a função está estabelecida, ela pode ser construída dentro do plano cartesiano. Trata-se de um plano quadriculado em que são definidos dois eixos perpendiculares: o y na vertical e o x na horizontal. Esses eixos são graduados em ordem crescente positiva para direita e para cima, além de ordem crescente negativa para baixo e para a esquerda.

Diante disso, cada par ordenado pode ser encaixado dentro dessa organização. Para isso, busca-se o valor de x no eixo horizontal, além do valor de y na direção vertical. O ponto de encontro entre essas posições é o par ordenado. Observe na imagem acima que o ponto A (-5,3) está alinhado com x=-5 e y = 3, assim como os pontos B,C e D.

Questão sobre gráficos e funções

(Enem 2021)

Utiliza-se o termo download para designar o processo pelo qual um arquivo é transferido de algum sítio da internet para o dispositivo do usuário (computador, tablet, celular). Quando a transferência é interrompida, diz-se que o download travou. O esboço do gráfico representa a evolução do download de um arquivo que demorou 16 segundos para ser concluído.

Por quanto tempo, em segundo, esse download ficou travado?

a) 9
b) 5
c) 3
d) 2
e) 0

Gabarito: alternativa B

Os momentos em que o download ficou travado foram os momentos em que não houve volume de dados baixados em um certo período de tempo, ou seja, o gráfico manteve-se em linha reta, mostrando que não houve aumento no volume de dados baixados. Portanto isso ocorreu entres os períodos de 3 a 6 segundos (total de 3 segundos) e 10 a 12 segundos (total de 2 segundos). Totalizando 5 segundos de download travado.

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