Função exponencial: o que é, gráfico, questões 

Função exponencial: o que é, gráfico, questões 

A função exponencial acontece quando a incógnita de um cálculo matemático está no expoente. Dessa forma, seu comportamento gráfico e as formas de resolver dependem do conhecimento a respeito de logaritmos, exponenciação, potenciação, radiciação e etc. 

Conheça, agora, os conceitos de função exponencial, como é construído e qual o desenho do gráfico desses cálculos. Depois, veja a resolução de uma questão do Enem e trata sobre esse tema. Vamos lá?

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O que é a função exponencial?

Uma função é considerada exponencial quando ela possui uma base com valores positivos maiores do que zero e diferentes de um, em que o expoente é um incógnita, como em f(x) = 4x. Assim, a estrutura geral desse tipo de função será tal que f(x) = ax, de forma que a pertence ao conjunto dos números reais, a>0 e a≠1.Tais regras são baseadas em princípios das potenciação.]

A multiplicação de zero por ele mesmo sempre será igual a zero, então o cálculo não seria válido. Ao mesmo tempo, quando 1 é elevado a qualquer expoente, o resultado será 1 (1.1.1.1.1.1 = 1). Então, a função seria uma constante. Ao mesmo tempo, no conjunto dos números reais, não é possível determinar a radiciação de números negativos. É isso que restringe o valor de a, que deve ser sempre positivo. 

Classificações da função

Função exponencial crescente

Uma função exponencial crescente acontece quando a base é um número real maior do que 1. Isso significa que, quanto maior o valor da incógnita no expoente, maior será o resultado da função. 

Por exemplo, a função f(x) = 2x, seria um função exponencial crescente, já que 2>1. Na aplicação, podemos atribuir valores diferentes ao x, para entender seu padrão de crescimento. Na tabela abaixo nota-se que um pequeno crescimento no valor da incógnita x é suficiente para uma grande evolução de y — uma característica essencial dos cálculos exponenciais.

xFunção f(x) = 2xy
1f(1) = 212
2f(2) = 224
3f(3) = 238
4f(4) = 2416
5f(5) = 2532
9f(9) = 29512

Função exponencial decrescente

Quando a base está entre os valores de 0 e 1 (0<a<1), considera-se que é uma função exponencial decrescente. Na prática, indica que, quanto maior o valor de x, menor será o resultado obtido em y.

Note que um valor que está no intervalo entre 0 e 1, será sempre fracionário, isso explica a característica da função,afinal, multiplicar valores fracionários entre si, resulta na diminuição entre eles. Por exemplo, 0,800.0,800 = 0,640, veja que 0,640 é um número menor do que aqueles que estão nos fatores da multiplicação. 

Vamos aplicar a tabela utilizada no exemplo anterior, para entender a função exponencial decrescente. Para isso, usaremos como base a função f(x) = 0,2x

xFunção f(x) = 0,2xy
1f(1) = 0,210,2
2f(2) = 0,220,04
3f(3) = 0,230,008
4f(4) = 0,240,0016
5f(5) = 0,250,00032
9f(9) = 0,290,000000512

Observe como o número de zeros após a vírgula aumenta gradativamente, o que torna o número cada vez menor. Assim, quanto maior o valor de x, menor é o valor encontrado como resultado da função exponencial decrescente.

Gráfico da função exponencial 

O gráfico de uma função exponencial deve ser construído da mesma forma que todas as outras equações matemáticas: a incógnita x é substituída por um número e o resultado é chamado de y. Dessa forma, encontra-se um ponto no plano cartesiano. 

Quando essas etapas são feitas em sequências, para diferentes valores de x, é possível construir um risco que liga todos os pontos e esse é o gráfico da função. No caso da exponencial, o desenho será uma curva. 

Algumas características são notadas no gráfico da função exponencial. Por exemplo, como todo número elevado a zero é igual a 1, é fato que todos gráficos possuirão o ponto (0,1). Inclusive, note que todo número elevado a 1 será igual a ele mesmo, então, o ponto em que x=1 terá, obrigatoriamente, um y=a (1,a).

Simultaneamente, sabemos que o valor da base nunca será 0 e uma exponenciação não pode resultar nesse valor. Então, não existem pontos com y=0, de forma que o gráfico nunca toca o eixo x do plano cartesiano.

Além disso, a classificação da função deve ser considerada ao analisar o gráfico de uma função exponencial. As funções crescentes terão uma curva que se inclina para a direita e para cima, como é demonstrado na imagem abaixo.

Gráfico de função exponencial crescente

No caso das funções exponenciais decrescentes, observa-se que a curva está em sentido de queda, rampa. Ou seja, é mais alta na porção esquerda e decai conforme se aproxima do eixo y, como é demonstrado na figura abaixo.

Gráfico de função exponencial decrescente

É importante destacar ainda, que no caso das funções crescentes, quanto maior for o valor de a, maior a inclinação da curva e mais rápida sua aproximação ao eixo y. Por outro lado, quanto menor o valor da base nas funções exponenciais decrescentes, maior a inclinação e a proximidade do traçado com o y=0. 

exemplos de gráfico de função exponencial

A imagem acima mostra uma comparação entre o gráfico de funções crescentes e decrescentes. É possível observar que o posicionamento da curva é diferente, quanto à sua inclinação, conforme foi mencionado anteriormente. 

Além disso, é possível comparar também as funções f(x)=2x e f(x)=4x. Veja como o gráfico em verde tem uma curvatura mais acentuada e brusca, quando relacionada com o traçado em azul. Isso demonstra que o valor da base influencia no comportamento do desenho. Veja também que ¼ é menor do que ½, o que justifica o fato da curva em rosa fúcsia estar mais inclinada e próxima do eixo y. 

Questão do Enem sobre função exponencial

O crescimento de uma população de microrganismos é descrito pela expressão K(t) = 81.3(t/3) + 2, em que K(t) indica a quantidade de microrganismos em um meio de cultura em função do tempo t. O gráfico representa a evolução de K em relação ao tempo t.

Questão do Enem sobre função exponencial

Com base nos dados, o valor de m é:

a) 4/3
b) 7/5
c) 24/5
d) 12
e) 81

A expressão fornecida pelo enunciado tem como incógnita o tempo t. Agora, basta igualar o valor de y no cálculo matemático para encontrar esse valor.

K(t) = 81.3(t/3) + 2

6563 = 81.3(t/3) + 2
6563 – 2 = 81.3(t/3) 
6561 = 81.3(t/3) 
6561/81 = 3(t/3) 
81 = 3(t/3)  

Neste tipo de exercício, é importante conhecer alguns resultados para potenciação e radiciação. Por exemplo, saber que 32 = 9 e que 92 = 81. Com a equivalência entre 32 = 9, pode-se substituir assim: 

92 = 81
(32)2 = 81
34 = 81

Perceba, então, que 3(t/3) = 34. Isso indica que t/3 = 4, portanto, t = 4 .3, t=12, conforme aponta a alternativa D.

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