Quando falamos sobre trigonometria, muitas pessoas pensam em triângulos retângulos e nas famosas relações de seno, cosseno e tangente. Mas o universo da trigonometria vai muito além disso.
Em provas de vestibulares e no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), é comum aparecerem questões envolvendo triângulos não retângulos, e é aí que entra a Lei dos Senos, uma ferramenta que permite resolver uma série de problemas envolvendo ângulos e lados desconhecidos. Leia este artigo para aprender tudo sobre o assunto. Vamos lá?
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O que é a Lei dos Senos?
A Lei dos Senos afirma que, em qualquer triângulo, o valor do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a ele. Nesse sentido, tal afirmação pode ser traduzida na seguinte fórmula:
Essa definição é importante para a resolução de questões que envolvam triângulos, acutângulos ou obtusângulos, para descobrirmos o valor de um lado desconhecido, por exemplo.
Funções trigonométricas
Você já deve ter ouvido falar sobre as principais funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Para encontrarmos os valores das razões trigonométricas, podemos utilizar triângulos retângulos, em que há algumas relações fixas que facilitam a identificação dos valores das funções trigonométricas.
Nesse sentido, em um triângulo retângulo qualquer, para qualquer ângulo (exceto o de 90º), são válidas as relações determinadas na tabela abaixo:
| Seno | Cosseno | Tangente |
| cateto oposto/hipotenusa | cateto adjacente/hipotenusa | cateto oposto/cateto adjacente |
Dessa forma, para um ângulo α em um triângulo retângulo ABC, representado abaixo, podemos encontrar as seguintes relações:
- sen α = x/z
- cos α = y/z
- tg α = x/y
Razões trigonométricas dos ângulos notáveis
No contexto das razões trigonométricas, alguns valores são utilizados constantemente, sendo útil conhecê-los. Dessa forma, o seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) são os mais recorrentes nas questões. Veja a tabela abaixo para aprender as razões trigonométricas dos ângulos notáveis:
Quando usar a Lei dos Senos?
A Lei dos Senos é aplicável em dois casos principais:
- Caso LAA (Lado, Ângulo, Ângulo): Quando conhecemos dois ângulos e um lado oposto a um deles. Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180°, podemos encontrar o terceiro ângulo facilmente e usar a fórmula.
- Caso LLA (Lado, Lado, Ângulo): Quando conhecemos dois lados e o ângulo oposto a um deles. Aqui, atenção: esse é o caso ambíguo, que pode ter uma, duas ou nenhuma solução possível (falaremos disso mais adiante).
OBS.: Esses casos são diferentes do caso em que usamos a Lei dos Cossenos, que é melhor para quando temos lado-lado-lado (LLL) ou lado-ângulo-lado (LAL).
Resolução de problemas utilizando a Lei dos Senos
1. Encontrar um lado desconhecido:
Se conhecemos os ângulos A e B, e o lado a, podemos encontrar o lado b usando:
a/senA = b/senB
b = (a . senB)/senA
2. Encontrar um ângulo desconhecido (atenção ao caso ambíguo):
Dado a, b e o ângulo A, queremos descobrir B:
a/senA = b/senB
senB = (b.senA)/senB
OBS.: dois ângulos distintos podem ter o mesmo valor de seno (por exemplo, sen 30° = sen 150°). É por isso que, no caso LLA, é preciso analisar se o triângulo existe e se há uma ou duas soluções possíveis. Não considerar essa ambiguidade é um erro comum.
Lei dos Senos e circunferência circunscrita
Uma extensão muito útil da Lei dos Senos envolve o raio R da circunferência circunscrita ao triângulo. A fórmula é:
Com essa relação, podemos encontrar o raio da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo, o que é útil em problemas de geometria analítica e espacial.
Aplicações práticas da Lei dos Senos
A Lei dos Senos é usada em diversas áreas:
- Topografia: medição de terrenos e construções em áreas inclinadas.
- Navegação: cálculo de trajetos não retilíneos com base em ângulos e distâncias.
- Astronomia: determinação de posições e distâncias de astros.
- Geometria: resolução de problemas que envolvem triângulos não retângulos, como encontrar alturas ou perímetros.
Questões envolvendo Lei dos Senos
Considere um triângulo ABC, em que 
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a medida do lado AC desse triângulo é, em cm, igual a
A) 8√(2/3)
B) 8√3
C) 8√(3/2)
D) 8√2
Resolução
GABARITO: ALTERNATIVA D
Utilizando a Lei dos Senos e a tabela dos ângulos notáveis, temos:
(sen30º) /8 = (sen45º) /x
(1/2)/8 = (√2/2)/x
x = 8√2
Universidade do Estado do Amazonas (UEA) 2023
Considere que em uma circunferência de raio R está inscrito um triângulo que tenha um ângulo de medida α oposto a um lado do triângulo de medida ℓ, conforme figura 1. A lei dos senos afirma que ℓ = 2R⋅ sen α.
Um triângulo que tem um lado de medida aproximadamente igual a 7,9 cm está inscrito em uma circunferência de raio 4 cm, conforme mostra a figura 2.
Sabendo que senβ = 15/16, o perímetro do triângulo da figura 2 é, aproximadamente,
A) 19 cm.
B) 19,4 cm.
C) 19,9 cm.
D) 20,5 cm.
E) 21 cm.
Resolução
GABARITO: ALTERNATIVA B
Para um triângulo inscrito em uma circunferência de raio R: ℓ = 2R⋅ sen α.
Dados conhecidos:
- Raio da circunferência R = 4 cm;
- Senβ = 15/16; e
- Sen30º = 1/2 (deve ser conhecido, já que 30º é um ângulo notável).
Para calcularmos o lado oposto ao ângulo de 30°:
x = 2R . sen30º
x = 2 . 4 . (1/2)
x = 4 cm
Para o lado oposto ao ângulo B:
y = 2R . senβ
y = 2 . 4 . (15/16)
y = 8 . (15/16)
y = 15/2
y = 7,5 cm
Com estes valores podemos calcular o perímetro do triângulo inscrito:
Perímetro = x + y + 7,9 cm = 4 cm + 7,5 cm + 7,9 cm
Perímetro = 19,4 cm
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