Quando falamos sobre trigonometria, muitas pessoas pensam em triângulos retângulos e nas famosas relações de seno, cosseno e tangente. Mas o universo da trigonometria vai muito além disso.
Em provas de vestibulares e no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), é comum aparecerem questões envolvendo triângulos não retângulos, e é aí que entra a Lei dos Senos, uma ferramenta que permite resolver uma série de problemas envolvendo ângulos e lados desconhecidos. Leia este artigo para aprender tudo sobre o assunto. Vamos lá?
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O que é a Lei dos Senos?
A Lei dos Senos afirma que, em qualquer triângulo, o valor do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a ele. Nesse sentido, tal afirmação pode ser traduzida na seguinte fórmula:
Essa definição é importante para a resolução de questões que envolvam triângulos, acutângulos ou obtusângulos, para descobrirmos o valor de um lado desconhecido, por exemplo.
Funções trigonométricas
Você já deve ter ouvido falar sobre as principais funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Para encontrarmos os valores das razões trigonométricas, podemos utilizar triângulos retângulos, em que há algumas relações fixas que facilitam a identificação dos valores das funções trigonométricas.
Nesse sentido, em um triângulo retângulo qualquer, para qualquer ângulo (exceto o de 90º), são válidas as relações determinadas na tabela abaixo:
| Seno | Cosseno | Tangente |
| cateto oposto/hipotenusa | cateto adjacente/hipotenusa | cateto oposto/cateto adjacente |
Dessa forma, para um ângulo α em um triângulo retângulo ABC, representado abaixo, podemos encontrar as seguintes relações:
- sen α = x/z
- cos α = y/z
- tg α = x/y
Razões trigonométricas dos ângulos notáveis
No contexto das razões trigonométricas, alguns valores são utilizados constantemente, sendo útil conhecê-los. Dessa forma, o seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) são os mais recorrentes nas questões. Veja a tabela abaixo para aprender as razões trigonométricas dos ângulos notáveis:
Quando usar a Lei dos Senos?
A Lei dos Senos é aplicável em dois casos principais:
- Caso LAA (Lado, Ângulo, Ângulo): Quando conhecemos dois ângulos e um lado oposto a um deles. Como a soma dos ângulos de um triângulo é 180°, podemos encontrar o terceiro ângulo facilmente e usar a fórmula.
- Caso LLA (Lado, Lado, Ângulo): Quando conhecemos dois lados e o ângulo oposto a um deles. Aqui, atenção: esse é o caso ambíguo, que pode ter uma, duas ou nenhuma solução possível (falaremos disso mais adiante).
OBS.: Esses casos são diferentes do caso em que usamos a Lei dos Cossenos, que é melhor para quando temos lado-lado-lado (LLL) ou lado-ângulo-lado (LAL).
Resolução de problemas utilizando a Lei dos Senos
1. Encontrar um lado desconhecido:
Se conhecemos os ângulos A e B, e o lado a, podemos encontrar o lado b usando:
a/senA = b/senB
b = (a . senB)/senA
2. Encontrar um ângulo desconhecido (atenção ao caso ambíguo):
Dado a, b e o ângulo A, queremos descobrir B:
a/senA = b/senB
senB = (b.senA)/senB
OBS.: dois ângulos distintos podem ter o mesmo valor de seno (por exemplo, sen 30° = sen 150°). É por isso que, no caso LLA, é preciso analisar se o triângulo existe e se há uma ou duas soluções possíveis. Não considerar essa ambiguidade é um erro comum.
Lei dos Senos e circunferência circunscrita
Uma extensão muito útil da Lei dos Senos envolve o raio R da circunferência circunscrita ao triângulo. A fórmula é:
Com essa relação, podemos encontrar o raio da circunferência que passa pelos três vértices do triângulo, o que é útil em problemas de geometria analítica e espacial.
Aplicações práticas da Lei dos Senos
A Lei dos Senos é usada em diversas áreas:
- Topografia: medição de terrenos e construções em áreas inclinadas.
- Navegação: cálculo de trajetos não retilíneos com base em ângulos e distâncias.
- Astronomia: determinação de posições e distâncias de astros.
- Geometria: resolução de problemas que envolvem triângulos não retângulos, como encontrar alturas ou perímetros.
Questões envolvendo Lei dos Senos
Universidade Estadual de Montes Claros (Unimontes) 2019
Considere um triângulo ABC, em que 
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a medida do lado AC desse triângulo é, em cm, igual a
A) 8√(2/3)
B) 8√3
C) 8√(3/2)
D) 8√2
Resolução
GABARITO: ALTERNATIVA D
Utilizando a Lei dos Senos e a tabela dos ângulos notáveis, temos:
(sen30º) /8 = (sen45º) /x
(1/2)/8 = (√2/2)/x
x = 8√2
Universidade do Estado do Amazonas (UEA) 2023
Considere que em uma circunferência de raio R está inscrito um triângulo que tenha um ângulo de medida α oposto a um lado do triângulo de medida ℓ, conforme figura 1. A lei dos senos afirma que ℓ = 2R⋅ sen α.
Um triângulo que tem um lado de medida aproximadamente igual a 7,9 cm está inscrito em uma circunferência de raio 4 cm, conforme mostra a figura 2.
Sabendo que senβ = 15/16, o perímetro do triângulo da figura 2 é, aproximadamente,
A) 19 cm.
B) 19,4 cm.
C) 19,9 cm.
D) 20,5 cm.
E) 21 cm.
Resolução
GABARITO: ALTERNATIVA B
Para um triângulo inscrito em uma circunferência de raio R: ℓ = 2R⋅ sen α.
Dados conhecidos:
- Raio da circunferência R = 4 cm;
- Senβ = 15/16; e
- Sen30º = 1/2 (deve ser conhecido, já que 30º é um ângulo notável).
Para calcularmos o lado oposto ao ângulo de 30°:
x = 2R . sen30º
x = 2 . 4 . (1/2)
x = 4 cm
Para o lado oposto ao ângulo B:
y = 2R . senβ
y = 2 . 4 . (15/16)
y = 8 . (15/16)
y = 15/2
y = 7,5 cm
Com estes valores podemos calcular o perímetro do triângulo inscrito:
Perímetro = x + y + 7,9 cm = 4 cm + 7,5 cm + 7,9 cm
Perímetro = 19,4 cm
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