Nos estudos para vestibular, você já se deparou com expressões numéricas enormes, com potências, parênteses e colchetes? Esse tipo de conta leva tempo para ser resolvido, por isso, você deve conhecer os produtos notáveis: fórmulas matemáticas para resolver equações de maneira mais rápida, a partir de ideias já estudadas!
Continue lendo este artigo e conheça os principais produtos notáveis, além de observar como eles são formados a partir da propriedade distributiva. Veja resoluções de questões utilizando essas ferramentas e prepare-se melhor para a prova de matemática do seu vestibular!
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O que são produtos notáveis?
Produtos notáveis são expressões algébricas que podem ser aplicadas na resolução de muitas equações e problemas de exatas. O termo deve ser entendido da seguinte maneira:
- “produtos” faz referência à multiplicação presente nas expressões matemáticas;
- “notáveis” qualifica essas multiplicações, já que elas têm grande importância no momento de resolver equações de diferentes níveis de dificuldade.
Os produtos notáveis mais conhecidos são o quadrado da soma (ou quadrado perfeito), quadrado da diferença, cubo da soma, cubo da diferença e produto da soma pela diferença. Vamos observar cada um deles nos tópicos a seguir.
Por enquanto, você deve saber que cada produto notável é representado por um grupo de letras, número e potências. Geralmente, eles utilizam a propriedade distributiva da multiplicação para encontrar fórmulas genéricas de expressões que parecem difíceis de resolver, como no exemplo abaixo:
(a+b)2 = a2 + 2.a.b + b2
Dada a forma como os termos do lado esquerdo foram rearranjados no lado direito, nota-se que os produtos notáveis constituem fórmulas polinomiais.
Principais produtos notáveis
Quadrado da soma ou quadrado perfeito
O termo “quadrado da soma” diz respeito ao fato de elevar uma soma ao quadrado, assim: (2+3)2. De fato, essa conta pode ser feita pela simples soma entre dois e três, seguida da potenciação do resultado.
A proposta dos produtos notáveis, entretanto, também tenta responder essa expressão caso ela possua uma incógnita, dentro de uma equação completa.
(2 + x)2 = x2 + x.5
Considerando a equação acima, podemos aplicar a propriedade distributiva para encontrar o valor de x. Nesse ponto, conhecer o produto notável quadrado da soma, pode ajudar!
Assuma que a e b são dois termos quaisquer de uma equação, vamos exponenciar a potência quadrada. Depois disso, os termos semelhantes são agrupados em um só termo.
(a+b)2 = (a+b).(a+b)
(a+b)2 = a2 + a.b + a.b + b2
(a+b)2 = a2 + 2.a.b + b2
A imagem abaixo demonstra essas etapas, além de representar geometricamente o produto notável:
A frase que resume esse produto notável é: o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Quadrado da diferença
De maneira semelhante ao que foi demonstrado no item anterior, o quadrado da diferença é a potência de uma subtração, como (x-y)2. A formação do produto notável também ocorre a partir da propriedade distributiva da multiplicação, como você observa abaixo.
Esses cálculos podem ser resumidos no enunciado: o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, somado ao quadrado do segundo termo.
Soma pela diferença
O produto da soma pela diferença fornece a fórmula para quando se multiplica a soma de dois números pela sua subtração, assim:
(a+b).(a-b) = ?
A fórmula será obtida, novamente, pela multiplicação e distribuição dos termos, de forma que:
O produto da soma pela diferença é igual a diferença dos quadrados dos dois termos. É importante saber que você também pode substituir a2 – b2 por (a+b).(a-b), conforme a necessidade da questão.
Cubo da soma
O cubo da soma, como aponta o nome, é o cálculo em que uma soma de termos é elevada ao cubo, assim: (a+b)3. A partir da propriedade distributiva, é encontrada a fórmula que simplifica esse cálculo:
(a+b)3 = (a+b).(a+b).(a+b)
(a+b)3 = (a+b).(a+b)2
(a+b)3 = (a+b).(a2 + 2.a.b + b2)
(a+b)3 = (a.a2 + 2.a.b.a + b2.a) + (b.a2 + 2.a.b.b + b2.b)
(a+b)3 = a3 + 2.a2.b + b2.a + b.a2 + 2.a.b2 + b3
(a+b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
Veja como seria trabalhoso encontrar toda essa expressão desde o início, além de tomar um grande tempo de sua prova. Por isso, estude ao máximo os produtos notáveis para manter em mente as fórmulas e, com isso, ter mais segurança e tempo de resolução de prova.
Cubo da diferença
O cubo da diferença se aproxima do que foi abordado no tópico anterior, deve ser aplicada a distributiva, de forma que:
(a-b)3 = (a-b).(a-b).(a-b)
(a-b)3 = (a-b).(a-b)2
(a-b)3 = (a-b).(a2 – 2.a.b + b2)
(a-b)3 = a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3
(a-b)3 =a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Com a fórmula encontrada, é possível substituir com facilidade uma diferença elevada à terceira potência em diversas expressões matemáticas. Veja, abaixo, uma resolução de exercício do vestibular sobre produtos notáveis.
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Questão de vestibular sobre produtos notáveis
(IBMEC) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:
a) a diferença dos quadrados dos dois números.
b) a soma dos quadrados dos dois números.
c) a diferença dos dois números.
d) ao dobro do produto dos números.
e) ao quádruplo do produto dos números.
O enunciado pede o resultado da expressão numérica em que o quadrado da diferença é subtraído do quadrado da soma, assim: (a + b)2 – (a – b)2.
Existe a possibilidade de resolver o problema com a propriedade distributiva, o que pode dar muito trabalho e tomar muito tempo. A melhor forma de resolver é substituir os termos pelas fórmulas dos produtos notáveis, como demonstrado abaixo.
Considerando que, (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 e (a – b)2 = a2 – 2.a.b + b2, teremos que:
(a + b)2 – (a – b)2 = (a2 + 2.a.b + b2) – (a2 – 2.a.b + b2)
Agora, basta distribuir os sinais e encontrar a expressão pedida pela questão.
(a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2.a.b + b2 – a2 + 2.a.b – b2
(a + b)2 – (a – b)2 = a2 – a2 + 2.a.b + 2.a.b – b2 + b2
(a + b)2 – (a – b)2 = 2.a.b + 2.a.b
(a + b)2 – (a – b)2 = 4.a.b
Assim, a alternativa correta é a letra E.
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