Progressão aritmética: o que é, fórmulas, usos e exemplos

Uma sequência de números pode ser construída de muitas formas diferentes. É possível, por exemplo, sempre somar um (+1) a cada elemento, assim: 1, 2, 3, 4, 5, 6, e assim por diante. Na matemática, os padrões construídos com somas e subtrações são chamados de progressão aritmética.

No decorrer do texto você encontrará definições sobre as progressões aritméticas, conhecerá a lógica por trás dessas sequências, além de ver o desenvolvimento das fórmulas. Veja também exercícios resolvidos sobre esse assunto, que é recorrente em vários vestibulares e no Enem. Vamos lá!

O que é progressão aritmética?

A progressão aritmética é uma sequência de números em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Como vimos anteriormente, ela possui um padrão de construção: admite-se um valor r que será subtraído ou adicionado para encontrar o próximo termo.

Para desenvolver uma dessas progressões, admite-se um primeiro elemento, chamado de a₁, um coeficiente r e iniciam-se os cálculos, da seguinte forma:

P.A. = (a₁, a₁ + r, a₁ + r + r, a₁ + r + r +r, …)

Note que o número subscrito em a, a_n, representa a posição do elemento dentro da progressão.

Se a₁ = 2 e r=3, teremos:

P.A. = (2, 2 + 3, 2 + 3 + 3, 2 +3 +3 +3, …)

P.A. = (2, 5, 8, 11, …)

+ Veja mais: Aritmética: o que é, operações básicas, questões e muito mais!

Classificações da progressão aritmética

Uma progressão aritmética pode ser classificada como crescente, constante ou decrescente.

• Quando o valor de r>0, a sequência numérica cresce a cada termo, por isso ela é considerada crescente;
• Se r=0, todos os termos da P.A. apresentarão o mesmo valor, iguais a a₁ — essa é uma progressão aritmética constante; e
• Se r<0, o padrão numérico diminui a cada elemento, já que é uma subtração que constrói a P.A.

Fórmulas da progressão aritmética

Fórmula do termo geral da P.A.

Conforme vimos no exemplo anterior, o coeficiente sempre será somado ao termo consecutivo, de maneira que:

a₁ = a₁

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₁ + 2r

a₄ = a₁ + 3r

a₅ = a₁ + 4r

Agora, te convido a observar o padrão nas equações acima. Veja como a posição do termo dentro da sequência se relaciona com o número que multiplica o coeficiente r, por exemplo em a₁ = a₁ + 0.r e a₄ = a₁ + 3r.

Ao notar esse padrão os matemáticos conseguiram compreender como encontrar um termo qualquer de uma progressão aritmética:

a_n = a₁ + (n-1).r

A fórmula acima é conhecida como termo geral da P.A. e possui muitos usos importantes nas provas de vestibular. A partir desses raciocínios, é possível construir padrões matemáticos para alguns casos especiais, veja a seguir como resolver um exercício da Unicamp somente com manipulações dessa fórmula e conhecimentos de geometria plana.

(UNICAMP 2014)

O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a:

A) 3,0 m².
B) 2,0 m².
C) 1,5 m².
D) 3,5 m².

O perímetro de um triângulo é dado pela soma entre todos os seus lados que, conforma o enunciado, se trata de uma progressão aritmética P.A. = (a, a+r, a + 2r). Para facilitar os cálculos podemos criar algumas manipulações. 

Se considerarmos que a+r = x, encontra-se o seguinte padrão:

a = (a + r) – r
a = x – r
a + 2r = (a + r) + r

a + 2r = x + r, ou seja,  P.A = (x-r, x, x+r)

Com isso, deve-se somar todos os termos da P.A e igualar ao perímetro:

x – r + x + x + r = 6
3x = 6

x = 2, a progressão agora é dada por (2-r, 2, 2+r)

Veja como a simplificação da P.A. foi importante para o desenvolvimento da questão, agora que já temos o valor de x em mãos, devemos lembrar que o triângulo é retângulo e aplicamos o teorema de pitágoras. Para isso vamos considerar que o maior lado é a hipotenusa, assim:

hipotenusa² = cateto² + cateto²
(2+r)² = 2² +(2 – r)²

Para desenvolver esse cálculo, lançamos mão da propriedade distributiva da exponenciação, assim:

(2+r).(2+r) = 4 + (2-r).(2-r)
2.2 + 2.r + r.2 + r.r = 4 + 2.2 – 2.r – r.2 + r.r
4 + 4.r + r² = 4 + 4 – 4.r + r²
4 + 4.r + r² = 8 – 4.r + r²

4.r + r² = 8 – 4 – 4.r + r²
4.r + 4.r = 4
8.r = 4
r = 4/8
r = ½

Agora que já encontramos o valor de r, sabemos que progressão aritmética será (2-½, 2, 2+½) = (3/2, 2, 5/2), de forma que o triângulo será:

Se a área de um triângulo retângulo é dada pela multiplicação dos catetos dividida por dois, então:

A = (1,5.2)/2
A = 3/2

A = 1,5 m², como aponta a alternativa C.

+ Veja também: Progressões aritméticas e geométricas: o que são, como calcular e questões

Soma dos termos de uma P.A.

Imagine uma progressão aritmética de n elementos, como você faria para encontrar a soma de todos esses valores de uma maneira fácil? Em vez de somar número por número, existe uma fórmula que sintetiza os cálculos:

n = posição do elemento final da sequência

a_n = elemento final da sequência

S_n= soma de todos os elementos da P.A.

Veja um exemplo de exercício do Enem que utiliza os conhecimentos abordados até aqui:

(Enem – 2013) 

As projeções para a produção de arroz no período de 2012-2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021, será de:

A) 497,25
B) 500,85
C) 502,87
D) 558,75
E) 563,25

O primeiro passo da resolução é observar qual padrão numérico está sendo utilizado nos valores do projeto de produção na tabela. Podemos observar que:

51,5 – 50,25 = 1,25

52,75 – 51,5 = 1,25

54 – 52,75 = 1,25

Assim, a cada ano, o projeto de produção é acrescido em 1,25t. Como falamos de uma sequência numérica que se inicia com 50,25, com padrão de soma, admitimos que trata-se de uma P.A., em que a₁=50,25, a₂=51,5, a₃=52,75 e assim por diante.

Para encontrar a soma das toneladas a serem produzidas entre 2012 e 2021, admitimos que 2021 é o a₁₀ da progressão aritmética. A partir disso, utiliza-se a fórmula de soma dos n termos de uma P.A.

S₁₀ = 10.(a₁ + a₁₀)/2

Com a fórmula dos termos gerais da progressão aritmética, teremos que:

r = 1,25

a₁=50,25

a₁₀ = 50,25 + (10-1).1,25
a₁₀= 50,25 + 9.1,25
a₁₀= 50,25 + 11,25

a₁₀ = 61,5, então:

S₁₀ = 10 (50,25 + 61,5) / 2
S₁₀ = 10 . 1117,5 /2

S₁₀ = 558,75, conforme a alternativa D.

Propriedades da P.A.

• A soma dos termos que estão à mesma distância dos extremos é igual a soma dos extremos, assim:

• Em três termos consecutivos da P.A, a média aritmética dos dois da ponta é igual ao do meio.

• Quando o número de termos n da P.A. é ímpar, o termo que fica no meio é igual a média aritmética dos elementos extremos.

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