Compreender a matemática e a álgebra pode ser um desafio para os vestibulandos. A geometria com seus triângulos, áreas, volumes, seno, cosseno e tangente assustam por serem conteúdos muito cobrados e muito lógicos.
Justamente para facilitar esse processo o Estratégia Vestibulares preparou um resumo com as principais informações sobre razões trigonométricas.
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O que é um triângulo retângulo?
Para compreender melhor as razões trigonométricas é necessário saber os conceitos do triângulo retângulo.
Esse triângulo é especial porque possui um ângulo de 90º.
Ao lembrar que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada por S=(n-2)*180, em que n é o número de lados do polígono, você perceberá que:
Striângulo= (3-2)*180
Striângulo= 180
Mas o que isso significa? Bom, se um triângulo retângulo tem sempre um ângulo de 90º, você pode perceber que a soma dos outros ângulos será de 90º também!
Veja a imagem abaixo:
Agora que você já entende o que é um triângulo retângulo, tome um ângulo como referência e preste atenção nesses conceitos.
- Hipotenusa: lado do triângulo retângulo que está oposto ao ângulo de 90º;
- Cateto Adjacente: lado do triângulo retângulo que está colado/adjacente/junto com o ângulo referência; e
- Cateto Oposto: lado do triângulo retângulo que está oposto/do outro lado do ângulo de referência.
Veja a figura abaixo:
Seno
A razão entre o cateto oposto ao ângulo e sua hipotenusa nos fornece o seno do ângulo (sen).
sen α = cateto oposto / hipotenusa
Por exemplo, observe o triângulo retângulo abaixo em que a hipotenusa vale 5, e os catetos valem 3 e 4:
Perceba que:
sen A = cateto oposto / hipotenusa
sen A = 4/5
sen A = 0,8
Para saber qual o valor do ângulo A, você pode conferir a tabela trigonométrica, que será referida mais adiante neste artigo.
Cosseno
Já a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e sua hipotenusa nos fornece o cosseno do ângulo (cos).
cos α = cateto adjacente / hipotenusa
Utilizando o mesmo triângulo retângulo do tópico anterior:
Perceba que:
cos A = cateto adjacente / hipotenusa
sen A =3/5
sen A = 0,6
Tangente
Por sua vez, a divisão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo resulta na tangente do ângulo (tan).
tan α = cateto oposto / cateto adjacente
Ainda com o triângulo retângulo de lados 3,4 e 5:
Note que:
tan A = cateto oposto/ cateto adjacente
sen A =4/3
sen A = 1,33
Relação entre seno, cosseno e tangente
A relação entre seno cosseno e tangente pode ser interessante para a resolução de exercícios. Por exemplo, os cálculos matemáticos podem provar que
(cos α)2 + (sen α)2 = 1
Ao mesmo tempo, é importante saber que para ângulos que somados são iguais a 90º, o seno de um ângulo é igual ao cosseno do outro ângulo. Veja:
30º + 60º = 90º, então
sen 30º = cos 60º
sen 60º = cos 30º
Você pode conferir essas informações na tabela trigonométrica do tópico seguinte.
Tabela trigonométrica
Utilizar as razões trigonométricas pode ser útil para descobrir o valor do lado de triângulos retângulos ou descobrir quais seus ângulos internos. Por isso, conhecer a tabela trigonométrica pode auxiliar nas contas:
| Razão Trigonométricas | 30° | 45° | 60° |
| Seno (sen) | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| Cosseno (cos) | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| Tangente (tan) | √3/3 | 1 | √3 |
Como calcular as razões trigonométricas?
Agora que já entendemos o que a razão trigonométrica e suas aplicações, acompanhe a resolução do exercício de vestibular a seguir:
Exercícios de seno, cosseno e tangente
G1 – IFSP 2014 (adaptada)
Uma forma pouco conhecida de arte é a de preenchimento de calçadas com pedras, como vemos na calçada encontrada em Brazilândia – DF, conforme a figura.
Em relação ao desenho da calçada, considere o seguinte:
– todos os triângulos são retângulos;
– cada triângulo possui um ângulo de 30°; e
– a hipotenusa de cada triângulo mede 100 cm.
Com base nas informações acima, qual o valor dos catetos de cada triângulo, em cm?
RESOLUÇÃO
Considerando os dados do enunciado, pode-se construir um esquema de triângulo retângulo:
Partindo desse ponto, pode-se usar a tabela trigonométrica para descobrir que o
sen 30º = 1/2
Com isso, aplica-se a fórmula de seno:
sen 30º = cateto oposto / hipotenusa
1/2 = cateto Y /100
Por meio de uma equação de primeiro grau, pode-se notar que o cateto Y (oposto ao ângulo de 30º) tem 50 cm.
Em seguida, com auxílio da tabela trigonométrica concluímos que cos 30º = √3/2. Então, utiliza-se a fórmula do cosseno:
cos 30º = cateto adjacente / hipotenusa
√3/2 = cateto X/100
Por meio da resolução de incógnitas, percebemos que cateto X= 50√3 cm.
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