Triângulo de Pascal é o nome dado para um diagrama matemático que é construído por linhas, de forma que cada linha tem mais colunas do que a anterior, o que constitui o formato triangular. Essa figura é construída por números, que são coeficientes de expansões binomiais.
Além de ser um gráfico bonito, o Triângulo de Pascal pode ser útil para resolver binômios, compreender alguns produtos notáveis, na probabilidade e análise combinatória, além de outros usos. Por isso, o conhecimento do assunto antes do vestibular pode te ajudar a resolver questões de prova. Leia este artigo e estude o tema!
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O que é o Triângulo de Pascal?
O triângulo aritmético, mais conhecido como Triângulo de Pascal, é uma ferramenta matemática muito antiga, por ter um uso muito versátil. Por exemplo, o famoso binômio de Newton pode ser encontrado dentro dessa figura, assim como a sequência de Fibonacci, um padrão numérico e geométrico que aparece em diferentes seres e estruturas da natureza.
Construção do Triângulo de Pascal
O Triângulo de Pascal é construído a partir da combinação de números, um tipo de cálculo próprio da análise combinatória. Para isso, são consideradas duas características do elemento a ser posicionado: qual linha ele está e em qual local da linha está situado.
O desenho é iniciado na linha 0 e coluna 0. E, então, o elemento que será colocado ali é a combinação de 0 em 0. Está definido, matematicamente, que o resultado dessa operação é sempre igual a 1, e esse é o primeiro componente do triângulo.
Logo abaixo, é adicionada a linha 1. Cada vez que uma linha surge, mais uma coluna deve aparecer. Até agora, tínhamos apenas uma coluna, agora, serão duas. Os elementos correspondem à combinação entre o número da linha e o número da coluna, a começar pela coluna 0. Assim deve ocorrer sucessivamente, como mostra a imagem abaixo.
Cada um dos parênteses representa uma combinação, que deve ser lida da seguinte forma: a combinação do “número que está em cima”, tomados de “valor que está embaixo” em valor que está embaixo. Por exemplo, a combinação do meio da linha 4 é tal que: a combinação de 4 tomados de 2 em 2.
É importante destacar como é calculada a combinação entre dois números (Cn,p):
Cn,p = n! / p!.(n-p)!
Por exemplo, a combinação de 2 tomados 1 a 1 (C2,1):
C2,1 = 2! / 1!.(2-1)!
C2,1 = 2.1 / 1.(1)!
C2,1 = 2
Essa forma de construção permite que o triângulo aritmético seja uma ferramenta infinita. É possível adicionar quantas linhas forem necessárias, basta realizar as operações matemáticas.
Existe uma maneira alternativa de montar esse triângulo, principalmente para relembrar sua formação durante um momento de emergência. Primeiramente, adiciona-se a primeira linha com o número 1, depois a segunda linha com dois números 1. Assim, forma-se um padrão de que toda a linha começa e termina com 1.
Em seguida, você deve somar os dois termos que estão acima da casela a ser preenchida, esse será o conteúdo dessa lacuna. Observe, na animação a seguir, que a soma dos termos conectados em laranja, resulta no elemento apontado pelo verde.
Caso fosse necessário adicionar outra linha a esse Triângulo de Pascal, como proceder, de forma prática? Bom, primeiramente adicionamos o número 1 nas extremidades direita e esquerda. Depois, é necessário somar os elementos centrais, de forma que:
- 1
- 1+ 4 = 5
- 4 + 6 = 10
- 6 + 4 = 10
- 4 + 1 = 5
- 1
Propriedades do Triângulo de Pascal
Relação de Stifel
A primeira propriedade do Triângulo de Pascal pode ser utilizada para a montagem do diagrama. Ela versa sobre a soma entre os dois termos que estão na linha de cima, que correspondem ao elemento que fica na lacuna abaixo. Para além de uma simples observação visual, esses cálculos são possíveis devido às características da combinação.
A fórmula apresentada é chamada de Relação de Stifel e é a principal razão para montar o triângulo aritmético por meio da soma.
Soma dos termos da linha
Cada linha possui um determinado número de elementos que podem ser somados. Existe um padrão para encontrar esse resultado. Ao considerar uma linha n, a soma de todos os termos (Sn) é dada por 2n.
Por exemplo, a linha de número 0 possui apenas o elemento de número 1. S0 = 20 = 1. Já na linha de número 4, que é constituída pelos elementos 1, 4, 6, 4, 1 a soma será S4 = 24 = 2.2.2.2 = 16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1.
Teoremas
Existem ainda, teoremas que relacionam diagonais e colunas com outros termos, dentro do Triângulo de Pascal. Por exemplo, ao somar os termos de uma coluna p desde seu início até uma linha n, esse resultado será igual ao elemento da linha n+1, coluna n+1. É o que demonstra a ilustração abaixo.
Em relação às diagonais, algo semelhante acontece. Considera-se uma diagonal tomada a partir de uma coluna 0 e vai até a linha n, coluna p. A soma dos elementos será igual ao elemento que também está na coluna p, mas na linha n + 1 (linha de baixo).
Simetria
Outro ponto importante a ser conhecido do Triângulo de Pascal é sua simetria. Observe, por exemplo, que todos os primeiros e últimos termos das linhas são iguais a 1. Ao mesmo tempo, se analisarmos uma linha isoladamente, o termo que fica exatamente ao lado do número 1 é igual, tanto na extremidade direita como esquerda.
Quando a linha tem um número ímpar de elementos, existe um elemento central que é diferente de todos os outros, enquanto que os termos vizinhos são simétricos em relação a um eixo que passe pelo centro do triângulo. No caso de linhas com uma quantidade par de termos, os dois termos que ficam no meio são iguais, como você pode notar na figura abaixo.
Aplicação do Triângulo de Pascal
Para aplicar o conhecimento sobre Triângulo de Pascal, é importante saber que os termos encontrados em uma linha podem ser coeficientes de uma expansão binomial. Por exemplo, para um binômio (x+y)4, os coeficientes são correspondentes aos elementos da linha 4 do triângulo aritmético.
4ª linha: 1 4 6 4 1
Agora, devemos adicionar esses valores na expansão binomial, de forma que, a cada soma, o expoente do primeiro termo x diminui de n até chegar em zero, e o expoente do segundo termo y aumenta de zero até chegar em n.
(x+y)4 = 1.x4.y0 + 4.x3.y1 + 6.x2.y2 + 4.x1.y3+ 1.x0.y4
(x+y)4 = 1.x4 + 4.x3.y + 6.x2.y2 + 4.x.y3+ 1.y4
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